[1]　(2^n+1)/n^2が整数となるような自然数nをすべて求めよ。
[2]　aが0でない整数ならば、
x^n+ax^(n-1)+ax^(n-2)+・・・+ax-1
は、２つの整数係数多項式の積に因数分解できないことを証明せよ。
[3]　nを自然数とする。袋の中に4n^2枚のカードが入っていて、どのカードにも表
には赤い文字で、裏には黒い文字で2n以下の自然数が１つずつ書かれている。そして
表の数字どうし、裏の数字どうしが両者とも一致するカードは１組もないとする。
いま袋より２枚のカードを取り出し、その(表,裏)の数字を(a,b)および(c,d)とする。
このとき、
0<(b-d)/(a-c)<1
となる確率を求めよ。ただし、どのカードも等確率で取り出されるものとする。
[4] 0≦x,0≦y≦x^2
で定義された領域Dの中で点Pが直進し、壁
y=0あるいはy=x^2
に当たるとき鏡面反射するものとする。
x軸上の定点P0から左上に向かって出発した点Pは、原点に対してある程度近づいた後、
右に折り返して右方に向かうことを証明せよ。
[5]　２点P(x,y,z),Q(x,y,0)があり、x,y,zは時間tの関数で、
x=e^(2t)cost,y=e^(2t)sint,z=t+1である。
t=0よりt=a(a>0)までの間に、線分PQが描く図形の面積を求めよ。
[6]　10人が円卓を囲んでいる。各人の前に何枚かずつカードが置かれていて、合計は
100枚である。合図があると、各人は一斉に自分の前のカードの中から、もしそれが
偶数枚だったらその半分のカードを、奇数枚の時は１つ足してその半分の枚数の
カードを、右側の人に渡す。このカードの移動を繰り返すと、いつかみんなの前には
ちょうど10枚ずつのカードが置かれている状態になることを証明せよ。

よろしくお願いします。