【可換則】かけ算の順序？？【不成立】
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00011
2006/01/26(木) 10:20:21息子が学校から持って帰ってきた算数のプリントを見てびっくり。
「丸い芝生の周りに4mごとに杭を立てたら、ちょうど9本で一周しました。芝
生の周りは何mでしょう」とかいう感じの問題に、息子は
式
9x4=36
答
36m
と答えて、式に×、答に○を貰っていました。なんで式が×なのかわからず息
子に聞くと、「正解は4x9=36だよ。順序間違えた。」という答。「はぁ？」
驚いていろいろとネットなどで調べてみると、かけ算の式は「1あたりの量x数」
と書くのが正しく、逆に書いたらはずれ、とする指導が全国的に行なわれてい
る模様。
私(40才、工学系教育/研究職)にとって、まったくもって初めて聞く"ルール"
で、「誰が決めたんじゃ、そんなこと」という感じなんですが、この"ルール"
について、成立の経緯などお詳しい方いらっしゃいませんか。
0002GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/01/26(木) 12:12:070003GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/01/26(木) 12:15:060004１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 12:42:51今だ！3!
0005１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 12:43:54Cinco.
0006GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/01/26(木) 12:56:110007ゆんゆん ◆kIuLDT68mM
2006/01/26(木) 13:06:04単位も考えて掛け算教えとかなきゃ、割り算の単元で困るだろ。
答えが同じなら乗数被乗数カンケーないとでも思ってたのか、バカ父め。
00081(バカ父)
2006/01/26(木) 13:35:39数量の単位、次元まで考えてかけ算しなければならないことを教えるのはもち
ろん必須です。わたしが疑問に感じたのは、そういうことではなくて、
「かけ算では1あたりの量を先に書かなければならない」
という"ルール"の正当性、妥当性、一般性です。次元とか単位とかいう言葉を使うならば、
「かけ算では次元を持つ量を先に書かなければならない」
ということになりますか("個"は無次元としときます)。
わたしにはどう考えても現在の小学校教育の場でだけ通用する(通用させてい
る)超ローカルルールであるとしか思えません。それぞれの数量が次元を持っ
ていることを理解している、ということと、ローカルルールを知っている、と
いうことは、まったく別な問題ですよね。
0009ゆんゆん ◆kIuLDT68mM
2006/01/26(木) 14:00:59小2(だよね？)に、掛け算も割り算も同じ物だと理解させる事すら難しいだろ。
その証明求めるなら、ゆんゆんには無理だぞ。
00101(バカ父)
2006/01/26(木) 14:18:17変えて下さい。
0011ゆんゆん ◆kIuLDT68mM
2006/01/26(木) 14:43:17小学生の文章題(単位が指定されているということ)で、
掛け算でも割り算でも、被乗数(割られる数)と解の単位が同じでなければ、その解答は間違っているだろ？
ちゃんと教えなきゃ、息子が割り算ならう時に困るぞ。
0012ゆんゆん ◆kIuLDT68mM
2006/01/26(木) 14:47:01被乗数のことを割られる数と書いたんじゃないぞ、念のため。。。
他の回答者をお待ち下さい。。。
00131(バカ父)
2006/01/26(木) 15:00:39問題変えます。
「一脚の椅子に3人座れます。椅子は全部で4脚あります。全部で何人座れますか」という問題に対して
3x4=12 12人
と答えれば正解
4x3=12 12人
と答えたらはずれ。なぜなら1あたりの量(この場合は1脚あたりの人数)を先に
書くことがルールだから。
という指導が全国の小学校で行なわれている、ということです。
00141(バカ父)
2006/01/26(木) 15:07:11そうですか？
上の問題を割り算の問題に書き換えれば、
「全部で12人います。椅子が4脚あります。1脚に何人座れば全員座れますか」
答 12 (人) / 4(脚) = 3 (人/脚)
という問題の他に
「全部で12人います。一脚に3人座れる椅子があります。椅子は何脚必要ですか」
答 12(人) / 3 (人/脚) = 4脚
という問題も可能ですよね。
0015ゆんゆん ◆kIuLDT68mM
2006/01/26(木) 15:47:27掛け算の確かめ算をした時に、単位が同じでなければってこと。
0016ゆんゆん ◆kIuLDT68mM
2006/01/26(木) 16:36:48bのa倍じゃないということを無視してるところに、他の人が食いつかない原因がある。
ごきげんよう・・・
0017GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/01/26(木) 17:08:49複素数なら積は可換。
しかも、海外では[>>1]のルールではないことが多い。
00181(バカ父)
2006/01/26(木) 17:23:17>bのa倍じゃないということを無視してるところに、他の人が食いつかない原因がある。
こんな前提、初めて聞きました。
0019１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 17:35:48「丸い芝生の周りに4mごとに杭を立てたら、ちょうど9本で一周しました。
芝生の周りは何mでしょう」という問題に
9x4=36 から 36m
と書いても明らかに正解とすべきですよ。
これをダメとする「ローカルルール」は廃棄の方向で検討すべきかと。
4mの部分が9か所あるから4m×9＝36mとさせたいんだろうけど、
9か所の部分に4mずつあるから9×4m＝36mと考えてもいいはず。
0020１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 17:46:37ゆんゆんなどというガキを相手にしないやうに。
0021ゆんゆん ◆kIuLDT68mM
2006/01/26(木) 17:46:50あ、馬鹿か・・・すみません。
ゆんゆんも、しつこくｾﾝｾｲに言われたもんで。
0022１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 17:51:224x100m の検索結果 約 399,000 件
100mx4 の検索結果 約 410 件
by google
日本の小学校のローカルルールとは逆が主流のようです。
私自身は小学生の時は上記のルールを忠実に守っていたので
式で減点された記憶がありません。
「掛け算の順序 決まり」 でググって見てください。
色々な意見が見れます。
0023ゆんゆん ◆kIuLDT68mM
2006/01/26(木) 17:55:2000241(バカ父)
2006/01/26(木) 18:02:10すか。私は>>1にも書いたように40で、こんなルールは見たことも聞いたこと
もないです。周囲の同僚に聞いても同様でした。私達が忘れているだけなのか、
それともある時突然発生したルールなのか。
0025１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 18:07:07４×５０＝２００
５０×４＝２００
どちらで教えるべきか。たし算やかけ算では入れ換えても答えは同じ
だということを理解して自分のものにした瞬間、それは抽象世界への一歩。
４×５０＝５０×４という発見は大切。順序が意味をもつ日常から
順序の無視できる抽象への世界へ自覚的にいけるステップだから。
0026１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 18:09:33つーか小学校で途中式なんて書かされるんだっけ？
00271(バカ父)
2006/01/26(木) 18:17:43なかなか衝撃的な書き込みが多いですね。私の知らないところで"常識"が形
成されていた。。。。
つうか、会計とかの世界の慣習が算数、数学の世界に持ち込まれたってことな
んですかね。
0028決定的解答
2006/01/26(木) 18:22:12「みかんがひとさらに5個ずつのっています。4さらではなんこになりますか？」
という問題の場合、英語圏では「4 plates of 5 oranges」で「4×5」が正解
とされたりするらしいです。日本の「ローカルルール」とは逆ですよね。
詳しくは「数学教育協力における文化的な側面の基礎的研究」をどうぞ。
http://www.jica.go.jp/branch/ific/jigyo/report/kyakuin/pdf/200203_08.pdf
0029１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 18:25:24「算数」は「数学」じゃないからね。
会計の世界での計算法が入っていてもおかしくは無いし、
むしろ国民のための基礎教育なのだから推奨されても良いぐらいだ。
0030ゆんゆん ◆kIuLDT68mM
2006/01/26(木) 18:30:240031１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 18:31:34小学校段階では言語などの構造も配慮した教育が行われているものと。
乗法の可換性などの認識はその後でもいいかと。
0032１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 18:32:18学問としての数学との折り合いを
「算数」の中でどうやってつけるか、ってところだな。
0033１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 18:32:49ゆんゆんがわざとアホなレスをしたおかげだな。ゆんゆん偉い！
0034１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 18:34:280035１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 18:39:0600361(バカ父)
2006/01/26(木) 18:56:09>>29 >>31 算数と数学は違うとは言え、小学算数が、中学以降の数学
の基礎科目と認識されているのもまた事実だと思います。出所不
明で、しかも中学以降の数学・理科で守られているとは思えない
ローカルルールは、いたずらな混乱の元であり、数学ぎらい、理科ぎらい
を増やすことになりはしないか、と思います。
たしかに可換性をすべての小学低学年生に教えるのは無理かと思いますが、
このローカルルールを墨守することは、可換性に気付いた小学生の芽を摘む
ことになりはしないでしょうか。
0037１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 19:12:420038GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/01/26(木) 20:32:180039１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 21:12:030040１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 22:35:38整数以外が×の後ろに来るのは定義されない。
0041GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/01/26(木) 23:02:230042１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 23:50:560043１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 00:00:100044１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 00:59:040045１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 01:14:47４×９と９×４が同じになるとか、凄く不思議でしたよ
足し算はさすがに覚えてないですが、
合わせて１０にするとか言って、
１と９、２と８、３と７、４と６、５，５、６と４・・・９と１
って、「あー真ん中で鏡みたいになってるのか〜」なんて思ったり
それに足し算では、
３と５を足す、なんて言えるのに、引き算になると
５から３を引く、っていう風に順番が決まってしまって
３と５を引くって言えないんだなぁ、とか
実際におはじきでも並べて見てみれば当たり前の事実ですけど
どうして足し算や掛け算はひっくり返しても答えが同じになるのか、未だに不思議です。
掛け算の順序については、小学校のとき結構丁寧に指導された記憶あります。
「これは、４に５をかけるのではないよね？誰かわかる人」「ハイ！５に４をかける〜！」ってやりましたもん。
0046１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 01:24:25の言うように、
普通なら４×９＝３６などと書かなきゃいけないところに、
９×４＝３６などと書いたとしても、
そう書いた理由をちゃんと書いたら○が貰えた、という記憶もあります
0047１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 02:09:35それはまともな先生にあたりましたね。
0048１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 02:53:42小学校で掛け算を習うときは大抵
「3+3+3+3と3を4回足し算するときに3×4と書く」
といったニュアンスで書かれています。したがって>>1 の問題の場合
「4m+4m+・・・」からでてくる4×9であって
「9本+9本+・・」からでてくる9×4ではない
として不正解にしたと考えられます。
歴史的にみても「（単位のある側の数）×（倍率）」とするのが正しいようです。
したがって日本の算数で教える掛け算は
<1あたりの量(この場合は1脚あたりの人数)を先に書くことがルール
という方針であっても何も問題はないと思います。
ただし私が教師の立場なら掛け算の習いたてでもない限り正解としますがね。
0049１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 03:27:37中学に進むと文字式が出てきて5aだの8bだのに遭遇しますよ。
「aメートルの棒を5本並べると何メートルか？」というような問題に
「a5メートル」と書いたら多分不正解にされるのでは？
つまり、「5個のa」も「aが5個」も5aと書くのが常識ですよ。
0050GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/01/27(金) 07:25:1600511(バカ父)
2006/01/27(金) 09:38:59>ただし私が教師の立場なら掛け算の習いたてでもない限り正解としますがね。
そこなんですよ。あくまで教えかたの"便法"にしか過ぎないローカルルールを、
あたかも絶対的真理のごとく○×判定の基準にしてしまっているところに強い
違和感を感じるんです。>>1
たとえば、「人間が5人います。足は何本あるでしょう」という問題は
2 x 5 = 10本
が正解で、
5 x 2 = 10本
は不正解、ということになりますね。足を先に数えるのが正しく、頭を先に数
えるのはまちがい、なんて、つまらないルールというか有害なルールだと思う
んですが。>>1の問題にしたって、「杭の間は9箇所、1m間隔なら9m、4m間隔だ
からその4倍」と考え方は間違ってないですよね。
0052１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 10:01:20>「杭の間は9箇所、1m間隔なら9m、4m間隔だからその4倍」
そう書きゃ○だろうさ。ただ何も書かずに 「9×4」って書いたら、問題文とあわせて 「9本×4m」 と読むのが自然だろ。
で、この掛け算(後ろが個数じゃないもの)は定義してないんだから、間違いとされても文句は言えない。
00531(バカ父)
2006/01/27(金) 12:14:22このルールを(飽くまでも教え方、考え方の便法として)用いることは百歩譲っ
て認めるとしても、
1)実はこの規則はローカルルールである。
2)したがってかけ算の式を逆に書いても何の問題もなく、どちらも正解である。
3)むしろこの規則に拘っていると、中学以降の数学、理科の理解の妨げになる可能性もある。
ということを、どこかで教えることが必須だと思うのですが、いかがでしょうか。
0054１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 13:25:19高校生の頃
導関数の定義に従って次を微分せよ
(１)３ｘ＾2+５ (２)４ｘ＾3-ｘ
…みたいな感じの問題が出て、
全部多項式の微分の公式使って一行で済ませたことがある
で、用紙の裏面に多項式の微分の公式の証明を書いて
「以上、この公式は導関数の定義に従って導かれたので
おもて面でこの公式を用いて回答した事は問題の指示に反していません」
と書いておいた。
そしたら先生は全部マルをつけて
「裏面の記述があるので正解にします」
って書いてくれた。
0055１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 14:04:47ただ、学習初期の段階から
「同じものなのだからどっちを書いても○」で、本人には何の注意も喚起しない、
というのは、ちょっとなぁ、と思います
>>31に書かれていた「言語などの構造も配慮した教育」という考えに、何かピンと来るものがあります。
小学校レベルの算数は、日常的にも本当によく使いますから、
自分が普段使っている日本語に馴染み易い形で頭の中にモデルがセットされていた方が、
混乱が少なく扱いやすいかなと、
たとえば英語の能動態と受動態ですが、
She loves Kenji. と、 Kenji is loved by her.
とは、文法ルールに則して考えれば意味する内容は同じですが、
この意味で後者の文を書いたら英語の試験では×になると思いますし、
実際に使われても首をかしげられると思うのです。
0056１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 14:18:46普段からよく数学も使っているし、抽象的思考も当たり前のようにこなす生活を送っておられるのだと思いますが、
たとえば知り合いに
小学校の通分のところでつまづいて、
それきり数と聴いただけで眩暈がするという方がいるのですが
たとえば、
１／３＋１／５ と、５／１５＋３／１５とが、同じ値だ、ということがわからず、
３つに切ってあったものの一つと１５個のうちの５個とは、きり方が違うのだから、
違うものではないか、などというのです
このことを「バカな人がいるものだ」と思う人もいるのかもしれませんが、
僕はなんだか、自分は考えもしなかったような想像をしているものだと、
むしろこの人の言っているような発想もそれはそれで大事ではないかと思えました
0057１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 14:30:03「４ｍずつで９本」と、「９本立てて４ｍ」とが同じものだ、ということは
数学ではなく、もっと難しいことを言っている気がします。
また、「４ｍずつ、９本の杭を立てていく」と言われれば、
自分が実際に杭を立てていくように想像して、その様子が自然に思い浮かばれますが、
「９本の杭を立て、その間は４ｍである」というのは、
先に頭の中で、間隔の定まらない９本の杭が立たなければならず、
先ほどの通分の人であったら
「え？どこに立てるの？」などと聞き返してこられるような気がするのです。
0058１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 14:44:02そのような段階で、
「４ｍずつ９本の杭」という意味で伝わってきた問題が
「９×４」と書かれて解いてある、という答案があった場合、
その子供の頭の中に、どういう意味が浮かんでいるのか、ということは、
やはり少し気にした方がいいように思います
その子がとても頭がよくて「だって１メートルずつ９本立てた場合を４倍したんでしょ？」とか
「かけざんは逆にしても正しいし、自分は１あたりの量が後ろにある形の方が好きなんだ、
だって何個分のコレって感じするじゃない？」
と即答できるならよいですが、
「４ｍずつ９本の杭を立てたから、９本×４＝３６ｍ」などと意味が混乱しているかもしれなかったり
すると思うのです。
00591(バカ父)
2006/01/27(金) 15:24:37私がこのルールに関して思うこと(の一部)は、実はまったく同じことなんです
よ。いろんな発想をする子供がいます。4m間隔に次々に杭を立てていくことを
想像する子供がいる、と同時に、まず9本の杭を立ててしまうことを想像する
子供だっているでしょう。このルールは、本来どちらも正しいはずの二つの発
想法に、優劣をつけようとするものなんですよ。これは>>51 でも「頭を先に
数えるのは間違い？」として書いたことです。
00601(バカ父)
2006/01/27(金) 15:58:06おっしゃっていたことの受け売りです。
このルールのもとでかけ算を習った子供は、翌年割り算を習います。割り算は
かけ算の逆演算として教えるのが普通でしょう。そして割り算を解く時にはか
け算と同様に暗記した九九を用いるでしょう。
「12人います。3人ずつ座れる椅子があります。椅子は何脚必要ですか。」と
いう問題が出たとします。子供は「12÷3」という式を書き、「3 x ○ = 12」
という式を思い浮かべ、○を求めるべく九九の三の段を唱え、4脚という答えに
到達するでしょう。
では「12人います。椅子が4脚あります。1脚に何人座ればよいですか。」とい
う問題はどうでしょう。「12÷4=」という式を書き「4 x ○ = 12」となる○
を探すべく四の段を唱えるのでしょうか。でも前年に習った"かけ算は1あたり
の量を先に書くのが決まり" というルールを信じている子供には、「○ x 4 =
12」という式しか思い浮かびませんよね。そして、九九を通常と直交する方向
(いんしがし、にしがはち、)に進んで行き、3人、という答に到達するしか無
いですね。
1)ローカルルールは無かったことにして、4x○=12という式を思い浮かばせる。
2)あくまでローカルルールに従い、九九の表を直角方向に進ませる。
3)1あたりの量を求める割り算は、算数の範囲外である。
どの指導が行なわれているのでしょうか。
0061１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 16:06:24皿が配られ、どの皿にも5個ずつのミカンがおかれているという。
このときミカンは全部で何個ありますか？
というような問題があったとき、ローカルルールによれば
5×4×20×3＝1200（個）
と書けということになりますよね。でもね。これってむしろ
3×20×4×5＝1200（個）
とする方が自然じゃないですか？
006261追加
2006/01/27(金) 16:10:1020×5×4×3＝1200（個）
と書く子供がいればユニークだと賛美したくさえなります！これを
間違いだなどというのは教育者の傲慢ですよ！
0063１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 16:54:05してみることを薦める。手元になくても、ちょっと大きな
都市の教科書センターとかに置いてあったりする。
自分が知らなかったルールなのでおかしいと思ったという
最初の印象は >1 個人の責任だろうね。
0064１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 16:58:33割り算は何通りもあるのに、形式的に掛け算の逆と定義しようとするから、
そういう誤解が生まれる。
00651(バカ父)
2006/01/27(金) 17:13:47息子の教科書を見た限りでは、かのルールに関するexplicitな記述はないよう
でした。ただ説明、例題などの式はすべてルール通りに書かれてはいましたが。
>自分が知らなかったルールなのでおかしいと思ったという
「知らなかった」からおかしいと思っているわけではないです。自分の周囲
(工学系です)で守られているとは思えないし、もっと言えば「そんなルールは
そもそも存在しない」というのが私の立場です。
00661(バカ父)
2006/01/27(金) 17:19:30して定義した上で更にヘンテコなルールを決めてしまう方がよっぽど恣意的
で、いらぬ誤解を生んでると思いますが。
0067１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 17:24:14explicitな記述はないこととルールが存在しないことは
同じではないでしょ。
自分の周囲の例は参考にならないと思いますよ。
本当の問題は、単位のついた式を小学校の教科書に載せて
はいけないというところにあるのだから。
0068ゆんゆん ◆kIuLDT68mM
2006/01/27(金) 17:36:51先生がこっそりゆんゆんに教えてくれたのは、公言できないからなのか。
00691(バカ父)
2006/01/27(金) 17:49:39>explicitな記述はないこととルールが存在しないことは
>同じではないでしょ。
そりゃそうですが、私はこの"ルール"の出所についての疑念
「最初はただの便法に過ぎなかったものを、極近年のある時、誰かが" こう書
かなきゃ間違い"と拡大解釈したものが都市伝説的に広まったのではないか？」
をますます深くしております。
>自分の周囲の例は参考にならないと思いますよ。
それなりに数字を使う機会の多い世界に住んでいるんですが。。。
0070１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 18:00:040071１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 18:12:48「量×個数」をローカルルールと言うからには，グローバルなルールってのが 1 の頭の中にはあるわけでしょ？
00721(バカ父)
2006/01/27(金) 19:03:49なんてルールはない」という"ルール"が頭の中にはあります。それから「複素
数の乗算は可換である」という"ルール"も頭の中にあります。
0073１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 19:10:15「〜というルールはない」はルールじゃない．
「可換である」も，それだけじゃ乗算を定めるには全然不十分．
それに「可換である」を仮定しちゃったらそもそも議論にすらならんよ．
「どちらも掛け算と呼び，同じ記号を使ってるけど違うものですね」で終わっちゃう．
0074１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 19:13:5871さんはもっと基本的なことを聞いているのでは？
自然数どうしの掛け算の定義かぁ。やっぱり足し算の定義から
派生させるのが自然でしょうな。小学校での教育という側面から
真面目に考えると結構難問だったりして。小学校の先生って
大変ですな。
00751(バカ父)
2006/01/27(金) 19:19:56>「〜というルールはない」はルールじゃない．
だから原文では"ルール"とQuotation付きで書いたんですが。
71=73さんをこのスレ初のルール積極肯定派とお見受けして、逆に伺いたいんですが、
御自身は現在もこのルールを守って式を書いてらっしゃいますか？
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