>>564
面倒くさいから、筋道だけ。
（１）有限小数を定義。これは、自然数nと整数mのペアで定義。
　　　これがm÷（10^n）を意味するように、同値関係を入れる。
　　　演算や順序も同様。
（２）循環小数は、n/mを計算する縦書きの割り算のアルゴリズムで
　　　定義する。有限回で除算が終わるときは、有限小数と有理数が
　　　一致する。
　　　終わらないときも剰余の比較でアルゴリズムを停止させるこ
　　　とができ、このときは循環小数（ただし、９の続く形を除く）
　　　になる。この値はn/mに近づく。εを10^(-k)にして行えば、有
　　　理数の範囲内でこのことが言える。
（３）（２）で、除算の剰余rの範囲を1≦r≦mにすれば、今度は整数
　　　や有限小数が現れず、全て循環小数で表される。この値がn/mに
　　　近づくことも有理数論の範囲で言える。そして、有理数とこれ
　　　らの２つの小数表示の同型対応により、1=0.999……等が言える。
面倒だが、演習レベルでできる。