>>486
完備アルキメデス順序体においても、
適当な定義の下で1≠0.999…は証明可能。
例えば整数aと0から9までの自然数a_1, a_2, ... に対して
0に「a . a_1 a_2 …」という名前を付ければ良い。
「0=a . a_1 a_2 …=0.999…≠1」は証明可能。

だがこの定義にメリットは無い。
今までの慣習とはかけ離れており、不便なだけだ。
メリットなどの非論理的事情を考慮して始めて
1＝0.999…であるべきという発言が出来る。

>>490
「それ」とはどれか?
超準実数体の例における「1≠0.999…」の事か?
それならば以下のようにして示せる:
極大フィルターによる超準モデルで考える。
定義により0.999…=[9/10, 9/10+9/10^2, ... ]であるから、
0.999…は列(a_i), a_i=9/10^iの同値類である。
{ i | a_i=1 }は空集合であり、フィルターは空集合を含まないから、
従って{ i | a_i=1 }は超準実数体を定めている極大フィルターに入らない。
故に[9/10, 9/10+9/10^2, ... ]≠[1, 1, ... ]、従って0.999…≠1. 証明終了。
定義さえ知っていれば自明極まる事だが。