数Ⅱをやっていて、ふと中学風に解いて気になってしまったので、質問させて下さい。
「問い(アレンジしました)」
2次方程式 x^2+ax+b=0 において、2つの解の和が1、積が-6であった。
このとき、2数を求めよ。
「中学的な解答」
p+q=1、pq=-6より、p(1-p)=-6
よって、p^2-p-6=0
これを解いて、p=-2、3　……「＊」
p=-2のとき、代入してq=3
p=3のとき、代入してq=-2
ゆえに2数は、-2と3　……「＊＊」
「質問」
「＊」のあと、pからqを求めるとき、必ずもうひとつのpの値がqになるのは
なぜですか(どう証明すればよいのでしょうか)。
また、もしこのやり方で、解答を「＊」から、すぐに「＊＊」へ行ったら
よくないでしょうか。