>>133
Φ(X)=1, Φ(X^2)=2, Φ(X^3)=3
X^2=tr(X)X-det(X)E、x^3=tr(X)X^2-det(X)X
よりΦの線形性に注意すると
2=Φ(X^2)=Φ(tr(X)X-det(X)E)=tr(X)Φ(X)-det(X)Φ(E)=tr(X)
つまり、tr(X)=2。また
3=Φ(X^3)=Φ(tr(X)X^2-det(X)X)
=tr(X)Φ(X^2)-det(X)Φ(X)=2tr(X)-det(X)=4-det(X)
つまり、det(X)=1。
したがって、
X^n=tr(X)X^(n-1)-det(X)X^(n-2)
から
X^n=2X^(n-1)-X^(n-2)
よって、n≧3のとき
Φ(X^(n-1))=(n-1), Φ(X^(n-2))=(n-2)
と仮定すると
Φ(X^n)=2Φ(X^(n-1))-Φ(X^(n-2))=2(n-1)-(n-2)=n
帰納法により証明完了。