>>274
a = cos(π/n) + isin(π/n)
b = cos(2π/n) + isin(2π/n) = a^2
sin(kπ/n) = (a^k-a^(-k))/(2i)
という、a,bを考える。

bは 1 のn乗根であるため、
Σ[k=0,n-1] x^k = Π[k=1,n-1] (x-b^k) = Π[k=1,n-1] (x-a^(2k))
が成立する。x=1を代入すれば、
n = Π[k=1,n-1] (1 - a^(2k))
が成り立つ。
この両辺をΠ[k=1,n-1] a^k で割れば、
n/(Π[k=1,n-1] a^k) = Π[k=1,n-1] ( a^(-k) - a^k ) = (-2i)^(n-1) * Π[k=1,n-1] sin(kπ/n)
が成り立つ。

Π[k=1,n-1] a^k = a^( n(n-1)/2 ) = (-i)^nが成立するため、
Π[k=1,n-1] sin(kπ/n) = n/(2^(n-1))

間違ってるかもしれないけど、大体の方針はあってると思われる。