(X,d_X),(Y,d_Y1),(Y,d_Y2)を距離空間とし、
f_1:X→Y_1,f_2:X→Y_2とする。
写像f=(f_1,f_2):X→Y_1×Y_2をf(x):=(f_1(x),f_2(x))
(∀x∈X)で定義するとき、fが連続であることとf_1,f_2
がともに連続であることは同値であることを証明せよ。
という問題を、「(X,d_X),(Y,d_Y)を距離空間とし、
f:X→Yとするとき、fは連続である⇔∀F∈F_Yに対して、
f^(-1)(F)∈F_Xである。（Fは開集合のことです）」
という事実を使って証明したいのですが、なかなか
上手くいきません。どなたかご教授して下さい。
よろしくお願いします。