大域というのは誤植です

パラメータを持つという言い方がやはりまずかったと思います

無限個のパラメータを用意しておきそれらを使って構造を生成します

たとえば平面上のベクトル場のときは平面の各点に対し「その点でのベクトルが何か」がひとつひとつパラメータです

しかし単にパラメータに値を入れて構造をつくるなら 写像として表せますよね
でもそうではなくパラメータに値を入れても構造が、一意に定まらなかったり存在しなかったりする場合を考えたいんです
そうしたとき写像として表せない構造と呼んでいます

なぜ無限個のパラメータに限定しているかというと有限個の例は簡単に作れるからです