高1です。連続2整数の積からなる数列の和についてお聞きしたいのですが、
持っている本に以下のように書かれていました。

＞Σ_[k=1,n] k・(k+1) を求めたい。
＞nを真ん中にもつ連続する3整数の積(n-1)n(n+1)をT(n)とおくと
＞T(k+1)-T(k) = 3k・(k+1)なので k・(k+1)=(1/3)・{T(k+1)-T(k)}
＞従って Σ_[k=1,n] k・(k+1) = (1/3)・{T(n+1) - T(1)}
＞つまり、Σ_[k=1,n] k・(k+1) = (1/3)n(n+1)(n+2)

・1行目で数列T(n)がいきなり現れることが納得できません。
それとも、特に意味はないので覚えるしかないということなのでしょうか？

・一般項を求めたい数列の階差数列を取ることは知っているのですが、
このように一般項が分かっている数列を階差数列として持つ数列は
どうやってみつけたらいいのでしょうか？

長文になって申し訳ないです。よろしくお願いします。