面白い問題おしえて～な 11問目
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
0001１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 11:01:19過去ログ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
0002１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 11:02:58面白い問題おしえて～な 十問目
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
0003１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 13:21:380004１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 18:03:52(1)ある自然数mが存在して、任意の自然数nをΣ[i＝2～m]ai^i (各aiは非負整数)の形に表すことが出来るか。
↑分かると思うけど、mはnに依らない定数。あと、iが2から始まってるのはﾀｲﾌﾟﾐｽではない。
(2)非負整数列{fk(n)}(n，k∈Z)が、どんなkについてもfk(0)＝0，inf[n∈Z－{0}]fk(n)/n^(k＋2)＞0 を
満たすとする。このとき、ある自然数mが存在して、任意の自然数nをΣ[i＝0～m]fi(ai) (各aiは非負整数)の
形に表すことが出来るか。
0005１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 20:39:09(2)fk(n)を偶数のみからなる列にしたらもうだめなんじゃないの？
0006１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 20:49:57その場合は確かに駄目。でも、他の場合は？もしかしたら、駄目じゃないfk(n)が存在するかもしれない。
でも、もしかしたら どんなfk(n)でもアウトかもしれない。それを聞いているのが(2)。
0007１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 21:02:45できる例もってんの？
0008１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 21:08:40それ言ったらヒントになっちゃうじゃないか。
0009１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 21:09:45両方ない気がする。1/nは発散するけど1/fk(n)って収束するから
凸不等式とかつかったらいいんじゃね？
0010953
2005/12/12(月) 21:16:02（いろんな解き方があるだろうから、ﾜｸﾜｸﾃｶﾃｶ…）
0011１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 21:20:22小さい順ってのは1,1,2,3,4とかはダメなのかな？
ダメだとしたら小さい順になるのは6通りだから
求める確率は6/6＾5=1/6＾4
0013１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 21:24:360014１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 21:25:58前スレでも書いたが、小さい順ってのは1,1,2,3,4も考慮します。
君たちのエレガントな解法を楽しみにしている年末の寒い夜。
00159
2005/12/12(月) 21:41:43ことの証明で>>9みたいな論法のやつあった記憶があるんだけどあれどうやるんだっけ？
>>9の方法だと任意の自然数が４つの平方数でかけるって定理も否定できてしまう。
思い出そうとしても思い出せん。だれか過去ログ残してない？
0016１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 21:47:48つ「にくちゃんねる」
0017１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 21:52:57とりあえず教科書にでも出てそうな解法
目の出方は全部で 6^5 通り
すなわち 7776 通り
そのうち、小さい順になってる出方は
○○｜○｜○｜○｜｜
このような図におきかえて考えると
（図の説明は略）
10!/5!5! 通り すなわち 252 通り
求める確率は 252 / 7776 = 7 / 116
0018１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 21:59:167/216 ではなからうか？
0019１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 22:04:520020１３２人目の素数さん
2005/12/13(火) 15:42:32※１ コンパスの軸をずらす、又は描く円の半径の大きさを変える等するまでを１回とする。
※２ 点を打って「１辺０cmの正方形」というのは面白くない。
0021１３２人目の素数さん
2005/12/13(火) 15:44:56２回は可能だろうか
0022１３２人目の素数さん
2005/12/13(火) 23:09:06コンパスなんていらない。
0023１３２人目の素数さん
2005/12/13(火) 23:17:18∫∫[xi≧1]1/(x1^2+x2^3+･･･+xn^(n+1))dx1dx2･･･dxnってnが大きいと発散するよね？
0024１３２人目の素数さん
2005/12/13(火) 23:18:13２回で可能かどうかはおいといて３回の答えおしえてください。
0025１３２人目の素数さん
2005/12/13(火) 23:34:54正方形を切り出せることは容易。
そこでまずOを中心とする円を描き（1回目）、その直径をABとする。
円周上にCを取り、COの延長と円の交点をDとする。
これでADCBは長方形になるから、あと2回で正方形ができる。
0026１３２人目の素数さん
2005/12/13(火) 23:39:57交点を中心に円を描く
0027１３２人目の素数さん
2005/12/13(火) 23:41:53直線引いて垂直な直線をかく（コンパス２回）
交点を中心に円を描く（３回目）
円がそれぞえの直線と交わったところを結ぶ
0028１３２人目の素数さん
2005/12/14(水) 00:03:380029１３２人目の素数さん
2005/12/14(水) 00:06:47点Oを中心に円Pを描き、直径ABを描く。
AB以外の円周上の点Cをとると、
直線ACとBCは垂直。
よって、以下>>27と同じ。
0030１３２人目の素数さん
2005/12/14(水) 00:07:29おお！さすがにそれが最小値だろうな。やりかたおしえてくらはい。
0031１３２人目の素数さん
2005/12/14(水) 00:08:29なーるほど。ＧＪ！
0032１３２人目の素数さん
2005/12/14(水) 00:32:24003332
2005/12/14(水) 00:43:37(1)中心をOとする円を描く
(2)2本の異なる直径AB,CDをひく．
(3)AC上に適当な点Eをとり，ABとDEとの交点をFとする．
(4)OEとCFとの交点をGとし，AGとBCとの交点をHとすればOHはBCの
中点．
(5)同様の手順でACの中点Iを求める．
(6)OH,OIを延長し円との交点を四つ結べば正方形．
(4)はメネラウスの定理から
(AE/EC)(CD/DO)(OF/FA)=1
AHとOCの交点をPとすればチェバの定理から
(AE/EC)(CP/PG)(GF/FA)=1
が成り立つことからCP/PG=CD/DO=2となり，Pが△ABCの重心となる
ことからHがBCの中点であることが言える．
0034１３２人目の素数さん
2005/12/14(水) 01:30:44ttp://www.vipper.org/vip157815.jpg
すごいな
0035１３２人目の素数さん
2005/12/14(水) 01:33:02てかコンパスなしで直角を作るのがそもそも無理？
0036１３２人目の素数さん
2005/12/14(水) 02:14:24003732
2005/12/14(水) 02:18:51中点とるのはだいぶ前に正方形7等分をやった時のと同じ手法．
0038１３２人目の素数さん
2005/12/14(水) 17:22:24赤玉が出れば元に戻し、白玉が出れば元に戻さないという試行を繰り返すとき、
n回後に袋の中の白玉がなくなる確率および、白玉がなくなるまでに行う試行回数の期待値を求めよ。
0039１３２人目の素数さん
2005/12/14(水) 17:54:09q_n : n 回目までに二個めの白球が出ている確率
とすると、
p_n = p_{n-1} + (1 - p_{n-1}) * (2/5)
q_n = q_{n-1} + (1 - q_{n-1}) * (2/4) * p_{n-1}
なので、これを解く。p, q ともに二項間漸か式なのでα^n+β^n みたいな形で出てくる。
n回後に袋の中の白玉がなくなる確率は、q_n - q_{n-1} なのでそれを計算。
白球がなくなるまでの試行回数の計算は
2*(q_2 - 0) + 3*(q_3-q_2) + .... を計算して欲しいというのが出題者の
意図なんだろうけど下のように計算しても問題ない。
一個目の白球が出るまでの試行回数の期待値は5/2
一個目が出た後で二個めの白球が出るまでの試行回数は4/1
ということで、5/2 + 4/1 = 13/2 回
004039
2005/12/14(水) 17:57:12004120
2005/12/14(水) 18:37:33こちらの用意していた解答は出題時点で3回、今日2回を思いついたのですが、
まさか1回があるとは…。>>32氏thx。
ということで追加問題。正規解答は期待しないで下さいまし。
1.任意の長さの1辺を持つ正方形を作図するとき、コンパス（ry
2.正五角形を作図する時、コンパ（ry。また、任意の長さの1辺を持つ正五角形（ry。
0042１３２人目の素数さん
2005/12/14(水) 18:40:380043１３２人目の素数さん
2005/12/15(木) 11:11:470044１３２人目の素数さん
2005/12/15(木) 13:25:350045１３２人目の素数さん
2005/12/15(木) 14:32:31(1)有限個の有界な開区間(a1，b1)，…，(an，bn)でIが被覆されるとき、Σ[i＝1～n](bi－ai)＞1と
なることを数学的帰納法で示せ。
(2)NからIへの全単射が存在しないことを、(1)及びIのコンパクト性を用いて示せ。
004632
2005/12/16(金) 02:47:581.は前の考えを使いまわして1回で可能．
与えられた長さを半径に持つ円を描けば，できる正方形の一辺はその
√2倍．
もう一度同じ方法で各辺に直交する直径がかけるから，それを使って
でき上がり．
2.は考え中．正三角形なら1回で作れた．
0047１３２人目の素数さん
2005/12/16(金) 04:47:07間違いを訂正しろ。
話はそれからだ！
0048１３２人目の素数さん
2005/12/16(金) 08:33:44>>33はおかしいの？
0049１３２人目の素数さん
2005/12/16(金) 14:51:25(AE/EC)(CP/PG)(GF/FA)=1
が成り立つことからCP/PG=CD/DO=2となり，
↓
(AE/EC)(CP/PO)(OF/FA)=1
が成り立つことからCP/PO=CD/DO=2となり，
ってことじゃない？
0050１３２人目の素数さん
2005/12/16(金) 18:48:47また頂点Cから辺ABにAD=1となるような点Dをとる。
このときCDの長さを求めよ。
0051１３２人目の素数さん
2005/12/17(土) 01:11:10問題の条件が足りないと思う。
0052１３２人目の素数さん
2005/12/18(日) 03:50:57このとき、Σ[i＝1～∞]aibi は収束すると言えるか？
0053１３２人目の素数さん
2005/12/18(日) 04:25:390054１３２人目の素数さん
2005/12/18(日) 05:25:59宿題は質問スレに書け、厨房め！
005552
2005/12/18(日) 08:09:12息抜き程度の難易度で、それなりに楽しめる問題を見つけたと思ったんだけどなぁ…馬鹿に出題したのが間違いだったよ。
解答：収束するとは言えない。
略証)ある実数列{an}が存在して、どんなβ∈Rに対しても、βに収束する適当なbnを選べばΣaibiが発散することを示す。
an＝{(-1)^(n－1)}/nで定義される実数列{an}を考える。Σ[i＝1～∞]ai＝log2 となって収束する。
bn＝1/logn (nは偶数)，0 (nは奇数) とするとbn→0であるが、Σ[i＝1～∞]aibi＝－Σ[i＝1～∞]1/(2ilog2i)
となり、2ilog2i はi≧1において単調増加だからΣ[i＝1～∞]1/(2ilog2i)＝Σ[j＝0～∞]Σ[i＝2^j～2^(j＋1)－1]1/(2ilog2i)
≧Σ[j＝0～∞]Σ[i＝2^j～2^(j＋1)－1]1/(2*2^(j＋1)log2*2^(j＋1))＝Σ[j＝0～∞]1/{4(j＋2)log2}＝∞だから
Σ[i＝1～∞]aibi＝－∞となって発散する。一般のβ∈Rに対しては、Bn＝β＋bn とすればBn→βであるが
ΣaiBi＝βlog2＋Σaibi＝βlog2－∞＝－∞となって 発散する。
005652
2005/12/18(日) 08:09:41考察1：一般に、絶対収束はしないが条件収束する{an}を取ってくれば、an＝(an)^(+)－(an)^(-) (ただしx^(+)＝max{0，x}，
x^(-)＝－min{0，x})と分解するとΣ(ai)^(+)＝Σ(ai)^(-)＝＋∞，Σ{(ai)^(+)－(ai)^(-)}＝α∈Rとなっていることが
分かるから、σn→0，Σσi(ai)^(+)＝＋∞を満たすσnを選んで bn＝σn (an≧0)，0 (an＜0)とbnを構成することによって、
Σaibiが発散するようにできる。bn→β≠0の場合は、上の解答と同じように作ればよい。で、σnの構成の一例は次。
Sm＝Σ[i＝1～m](ai)^(+)とおくと 仮定よりSmは単調増加しながら発散するから、任意のn∈Nに対してあるM∈Nが存在して
m≧Mのとき常に2^n＜Smが成り立つようにできる。このようなMのうち最小のものをMnとおくと、Mnは(広義)単調増加する
自然数列で2^n＜SMn が常に成り立つ。便宜上、Mnは狭義単調増加にしておきたいので、Xn＝Mn＋nとでもおけばXnは狭義
単調増加で2^n＜(SMn≦)SXnが常に成り立つ。そこで、σnをσn＝1 (1≦n≦X1)，1/(k＋1) (Xk＜n≦X(k＋1)) と定義すれば
Σ[i＝1～Xn]σi(ai)^(+)≧(1/n)Σ[i＝1～Xn](ai)^(+)＝(SXn)/n＞(2^n)/n→∞ (n→∞)及びσn→0 (n→∞)が成り立つから、
このσnが求める数列の一例。
考察2：{an}が絶対収束する場合は、Σaibi は必ず収束する。
グチャグチャの計算だから計算ミスがあるかも(＾＾；
0057１３２人目の素数さん
2005/12/18(日) 08:45:000058１３２人目の素数さん
2005/12/18(日) 09:57:38あるなら何か?
0059１３２人目の素数さん
2005/12/18(日) 10:59:59それは超有名問題だな。ガウスが解いたやつだ。
0060１３２人目の素数さん
2005/12/18(日) 13:49:38これコンパス一回つかえば任意の作図可能な点が作図できるみたい。･･･たぶん
0061１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 04:32:01(1)
△ABCの垂心をH、外心をO、OからABに下ろした垂線の足をO'とする。CH=2OO'を示せ。
(2)
(1)の△ABCについて、線分OHの中点Uを中心として半径が△ABCの外接円の半径の1/2の円を描く。また、CからABに下ろした垂線の足をE、線分CHの中点をVとする。
E、V、O'はこの円上に存在することを示せ。
(3)
(1)、(2)を利用して『9点円定理』を示せ。
0062１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 14:04:59誰か解いてよー(´Д`)
0063１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 17:05:510064１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 19:10:400065１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 19:39:220066１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 21:26:350067１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 22:09:14これは塾の宿題です。
キモイので話しかけたことはないのですが、ハッキリ言ってクズです。
本当にありがとうございました。
0068１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 01:58:43俺は解けないが
0069１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 02:35:360070１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 10:44:44「香織はバスローブを脱ぎ捨てると、その豊満な」まで読んだ。
0071１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 10:46:120072１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 10:57:530073GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/12/23(金) 17:52:090074１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 21:20:42∀⌒０００００００＝（ ）
0075１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 22:12:56数という概念を否定せよ。
さあ、道徳、いや どう解く ?
0076１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 00:15:42哲学厨か
0077１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 01:34:53AAサロン
http://aa5.2ch.net/aasaloon/
ここで存分に
0078数ｾﾐから拝借してﾁｮｯﾄ変えてみました。
2005/12/24(土) 02:19:28・Sは原点を通る任意の直線と2点で交わる
・Sは原点を中心とする単位円周の任意の接線と2点で交わる
・|a|<1とする。Sは直線y=aと2点で交わる
・|a|<1とする。Sは直線x=aと2点で交わる
このとき、Sは原点を中心とする単位円周と言えるか。
0079１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:22:47＞・Sは原点を中心とする単位円周の任意の接線と2点で交わる
こんな条件があんのになんでSが単位円周になりえるわけ？
0080１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:25:560081１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:29:28すみません。書き間違えました。2点ではなく1点です。
0082１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:30:21一点のみを共有する？交わるじゃなくて？
0083１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:34:19交わるです。
0084１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:35:17じゃあ単位円周でもその条件みたしてないじゃん。
0085１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:38:29何故ですか？馬鹿ですみません。1点を共有する=1点で交わるとの解釈です。
0086１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:42:02普通わざわざ“交わる”という単語をつかうときは“接する”状態はふくめないだろ？
てか“共有点をもつ”ってかけばその手のまぎらわしさなしに伝わるんだから。
なんでわざわざそんな誤解をうむ言葉づかいするんだよ？
0087１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:44:44“閉曲線”は“単純閉曲線”？
0088１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:52:06接することも交わることとの解釈からです。
あと、(単位円周でないようなSがあった場合に)交わるとの表記の方が一般性を持つだろうとの判断です。
誤解を与えたならば申し訳ありません
0089１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:54:34そういう方向で。単純でない場合はこちらも全く考えていなかったので…。
0090１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 03:32:23じゃあこんな感じで。
S1={(x,y)|x^2+y^2=1}とおく。同型写像f:S1→Sを固定しておく。
以下閉半直線L(θ)をL(θ)={(rcosθ,rsinθ) | r≧1}
とする。まずL(θ)∩S=φを示す。あるp∈L(θ)∩Sがとれたとする。
M:{(x,y)| xcosθ+ysinθ=1}、N:{(x,y)| xcosθ+ysinθ=-1}とおく。
仮定よりS∩Nは空でないのでq∈S∩Nをとる。同型写像g:S1→Sを
g((1,0))=p、g(-1,0)=qととる。
gの連続性と直線Mによって分割される２つの開半平面のことなる成分にp,qがあるから
からα=(cosu,sinu)、β=(cosv,sinv)をg(α)、g(β)∈S∩M、0<u<π、-π<v<0ととれる。
しかしこれはS∩Mが１元集合であることに反する。
よってS∩L(θ)は任意のθに対し空である。
これをもちいてSが単位円であることをしめす。仮定により任意のφにたいして
S∩{(x,y)| xcosφ+ysinφ=1}は１元集合{p}とかけるがもしp≠(cosφ、sinφ)であれば
pはあるθをとってL(θ)にふくまれる。これは前段の帰結に反する。
よってS∩{(x,y)| xcosφ+ysinφ=1}=(cosφ,sinφ)である。これからSが単位円周となることは容易。□
0091１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 04:37:25・Sは原点を中心とする単位円周の任意の接線と1点で交わる
↑この2条件だけでよくね？
009291
2005/12/24(土) 05:50:450093１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 07:45:510094１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 21:08:01数列{aφn}を選べば、Σaφiがxに収束するように出来る。
↑このスレで出された問題では無いが、やっと解けた(´∀｀)
0095１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 21:34:00まあ、どれもいつかは食わなきゃならんわけだが。
0096１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 23:08:11せっかくだから解答かいてちょ。
0098１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 06:59:53xより小さくなるまで負の項を足して、またxを超えて大きくなるまで正の項を足して、
またxより小さく（りゃ
でしょ
0099１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 07:47:59それもよくある演習問題でしょうにｗ
0100１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 14:54:40でつ ………俺、このスレの’演習問題を馬鹿にする’ような雰囲気大嫌いだな。
0101１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 20:12:39るぱん賛成だぜ、とっつぁん。
0102１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 20:25:36このスレの趣旨からして「よくある」問題は趣旨に合ってないってことだろ
その意味で「よくある演習問題」はバカにされても当然だと思うよ
0103１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 20:38:18厨房め～ とか荒れるだけだし。
0104１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 20:41:25でもスレ違いに「スレ違いだよ」って言ってあげるのは
スレの自治としては必要なことなんじゃね
0105１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 20:47:020106１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 00:27:330107１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 00:31:290108１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 02:17:59スルーしない同レベルのバカの方が多いだろが
0109１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 02:20:53> 1レス消費するくらいなら、スルーするか、もしくは’面白い問題’とやらを書き込んで欲しいな。
オマエモナー
0110１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 02:45:020111１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 02:55:44よくある演習問題をわざわざこのスレに書いて
文句を言われると駄々をこねる奴の気が知れん。
分からない問題はここに書いてね２２５
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1135406867/
くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(40桁略)3993
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132560000/
◆ わからない問題はここに書いてね １８２ ◆
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134810000/
おいらには解けない４
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1097325180/
おまいらこの問題解ける？
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1135016339/
0112１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 07:01:040113１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 19:57:31(x^x)^n = y^y が非自明な自然数解 (x, y) を持つための n の条件を求めよ。
ただし、自明な解とは (x, y) = (1, 1) のことを指している。
0114１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 20:38:03n=lx^(l-1)となる２以上の整数xと自然数lが存在すること。
は少なくとも一つの解答になるかな？用意されてる解答とちがうかもしれないけど。
この手の問題は答えが一意にさだまらないからな。
0115１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 21:10:23もっと多くの n でいけますよ～。
0116１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 21:14:01まじっすか？n=lx^(l-1)とあらわせないnの例をあげてみてください。
0117１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 21:23:190118１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 21:28:05(x, y) = (2^24, 2^27) が解になってます。
>>117
その形だとどんな数が当てはまらないんだろう…
もしかしたらあってるかもしれない。答えはもっと単純ですよ
0119１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 21:38:42あてはまらないものがない以上正解なんじゃないの？
0120１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 21:46:430121１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 21:52:360122１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 21:55:470123１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 21:59:24n=uv u,v≠1のときx=((u-1)v)^(u-1)、b=u、a=u-1とおけば
(b/a)x^((b/a)-1)=(u/(u-1))((u-1)v)^(b-a)=uv=nになる気がする。
素数はそのような表示ないし。素数じゃないときはOKなんじゃね？
0124１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 22:04:15それ、解になってないと思うが。もしかして(x^x)^nとx^(x^n)を勘違いしてないか？
0125１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 22:08:23(x^x)^n=(2^(24･2^24))^9=2^(2^27･3^3)
y^y=(2^27)^(2^27))=2^(2^27･3^3)
0126124
2005/12/27(火) 22:08:320127１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 22:15:470128124
2005/12/27(火) 22:16:210129１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 22:21:27あとは、n=2でどうなのか、と。
0130124
2005/12/27(火) 22:24:490131124
2005/12/27(火) 22:26:56orz
λ...
(お察し下さい)
n＝2のときは解無しですた。
0132113
2005/12/27(火) 22:39:26STEP1
t = y/x を使って問題文の式を整理すると
x = t^(t/(n-t)), y = t^(n/(n-t))
とパラメータ表示できる。
t=n-1を代入すればx, yが自然数になるので
n>2の時の非自明解を生成できる。
STEP2.
n=2のとき背理法により解がないことを証明していく。
まず、x^(2x) = y^y から、x < y < 2x ---(1) を示す。
次に、任意の x の素因数 p をとってきて、右辺と左辺を
pの指数に関してのみ比較し、yがxの倍数であることを示す。
でも、yがxの倍数であることが(1)に矛盾。
よって答えは、n>2 という感じでした。
0133124
2005/12/27(火) 23:00:38証：x＝yのとき…明らか。x＞yのとき…a＝dα，b＝dβ (α，βは互いに素)と表示すると、与式⇔{d^(x－y)}α^x＝β^yと
変形できる。左辺はαで割り切れるから、右辺のβ^yもαで割り切れる。ところがα，βは互いに素だからα＝1を得る。
このときa＝d，b＝dβ＝aβとなって、a｜bが成り立つ。x＜yのとき…同様にしてb｜aとなる。
これを用いて、(x^x)^2＝y^yに非自明解が無いことを示す。
x≧2，y≧2としてよい。f(z)＝z^zはz≧1において単調増加なので、もしy≧2xとするとx^(2x)＝y^y≧(2x)^(2x)
⇔1≧2^(2x)が成り立つことになって矛盾。よってy＜2xである。これに補題を用いると、y＜2xよりx｜yを得る。
つまりy＝cx とおける。これを与式に入れて整理するとx^2＝(cx)^cとなるので、c＝1，c≧2で場合分けすると
非自明な解が存在しないことが容易に分かる。
0134１３２人目の素数さん
2005/12/28(水) 00:33:08n個のコインがあり一個だけニセモノがまじっておりニセモノは重さがちがう。
r≧log[3](2n+1)をみたす自然数rをとるとき天秤をr回もちいればニセモノをさがしだせる事を示せ。
0135134
2005/12/28(水) 00:39:030136１３２人目の素数さん
2005/12/28(水) 10:12:41(2)f(x)，g(x)をxの非負整数係数多項式でf(x)の定数項は1とする。また、g≠0とする。
このとき、a^f(b)＝b^{a*g(a)}の自然数解(a，b)を全て求めよ。
0137１３２人目の素数さん
2005/12/30(金) 17:39:54(1,1) しかないね。
p を a の素因数とし、p^s|a , p^{s+1}†a, p^r|b, p^{r+1}†b とする(s>0, r>0)。
p^{s f(b)} = p^{ar g(a)} <=> s f(b) = ar g(a)
右辺、a は p^s の倍数。
一方、左辺、f(b) は (p の倍数 + 1) なので、s は p^s の倍数でないといけない。
s > p^s を満たすような素数 p と自然数 s は存在しないので変。
よって、a = 1 でないといけない。そうすると b = 1 も自動的に決定。
0138GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/12/30(金) 18:43:080139１３２人目の素数さん
2005/12/30(金) 18:44:140140１３２人目の素数さん
2005/12/30(金) 18:44:550141１３２人目の素数さん
2005/12/30(金) 18:45:390142１３２人目の素数さん
2005/12/30(金) 23:04:350143１３２人目の素数さん
2005/12/30(金) 23:29:160144１３２人目の素数さん
2005/12/30(金) 23:57:390145１３２人目の素数さん
2005/12/31(土) 00:02:070146１３２人目の素数さん
2005/12/31(土) 00:13:14みかんを閉曲面って考えたらいいのかい？
0147１３２人目の素数さん
2005/12/31(土) 00:36:24(一つでも見つかればぉｋ)
0148小牧愛佳 ◆u/3FmANAKA
2005/12/31(土) 01:18:41（bd/ac）*(b^2/a^2-d^2/c^2)＝7を満たすa,b,c,dを見つけてください・・・
0149１３２人目の素数さん
2005/12/31(土) 01:25:1535/12、24/5、337/60が見付かった。
0150１３２人目の素数さん
2005/12/31(土) 13:24:140151GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/12/31(土) 13:27:03talk:>>150 雪■大福の場合は不可能。
0152GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/12/31(土) 13:27:490153１３２人目の素数さん
2005/12/31(土) 13:28:420154１３２人目の素数さん
2005/12/31(土) 15:40:16内部の任意の点と外部の任意の点を結んだ直線と曲面が少なくとも１つの共有点を持つことを示せばいいのかな？
0155小牧愛佳 ◆u/3FmANAKA
2005/12/31(土) 16:54:45面積が41で辺の長さがすべて有理数となるような直角三角形の3辺の長さを決定してください
一つでも見つかればおっけーです
0156１３２人目の素数さん
2005/12/31(土) 17:42:520157１３２人目の素数さん
2005/12/31(土) 19:46:48アルゴリズムの存在は証明されてるけど実際の実行はめちゃめちゃ大変ってかいてあった。
加藤先生の数論１か２あたりに似たような例が載ってた記憶があるんだけど。
0158GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/12/31(土) 20:31:530159小牧愛佳 ◆u/3FmANAKA
2005/12/31(土) 21:07:47100以下の素数では5と7と41以外では存在しないと思うのですが・・・
そしてその組み合わせはそれぞれ一つしかないと思います・・
反例があったらご指摘よろしくお願いしますです。
0160１３２人目の素数さん
2006/01/01(日) 07:19:03互いに異なる3つの自然数a1，a2，a3で、
ai｜(aj＋ak＋aj*ak) ((i，j，k)＝(1，2，3)，(2，3，1)，(3，1，2))
を満たすものは存在するか。
0161GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/01/01(日) 07:37:450162160
2006/01/01(日) 07:40:34互いに異なる3つの素数a1，a2，a3で、
ai｜(aj＋ak＋aj*ak) ((i，j，k)＝(1，2，3)，(2，3，1)，(3，1，2))
を満たすものは存在するか。
0163１３２人目の素数さん
2006/01/01(日) 09:50:10こつこつやるのは良いことだが、ここくらいは参考にした方がよい。
http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math10/
0164１３２人目の素数さん
2006/01/01(日) 10:19:21素数･･･
0166１３２人目の素数さん
2006/01/01(日) 13:26:23当たり前な気がするけど、ﾁｬﾝﾄ示すとなると…。
0167１３２人目の素数さん
2006/01/01(日) 14:16:20大福を皮ごと喰う
0168１３２人目の素数さん
2006/01/01(日) 14:21:450169１３２人目の素数さん
2006/01/01(日) 21:09:19曲座標で考えれば、中間値の定理とかですぐ証明できそうな気がしないでもないけど
これだと不完全ですか？
0170１３２人目の素数さん
2006/01/01(日) 22:39:150171GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/01/02(月) 13:55:46(証明しようと思えばできるだろう。)
先に定めた二点が、内側、外側になる曲面で、球面と位相同型であるものと、球面の間に、適当なイソトピー写像を作れば[>>138]ができる。
初めに、イソトピー写像ができることを示せばあとは簡単かな？
問題改。
三次元空間内で、球面と位相同型である曲面と球面との間にイソトピー写像を構成できることを示せ。
できるのかもしれないが、どうやろう？あとは幾何学の専門家にパス。
0172GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/01/02(月) 14:02:01三次元空間内で、球面の内部の点と同じ球面の外部の点を曲線で結んだとき、
曲線と球面が少なくとも一点で交わることを証明せよ。
(ヒント：曲線とは何か？)
0173１３２人目の素数さん
2006/01/02(月) 14:16:07ｦｲｦｲ
0174GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/01/02(月) 14:19:020175１３２人目の素数さん
2006/01/02(月) 14:53:102次の正方行列 A,B が A^2-2AB+B^2=O を満たせば AB=BA と言えるか？
48 ：１３２人目の素数さん ：2006/01/02(月) 12:55:42
言える。と思う。
49 ：ぴかぽん ：2006/01/02(月) 13:14:47
>47
言えない｡
0176１３２人目の素数さん
2006/01/02(月) 15:14:30ttp://www10.plala.or.jp/mathcontest/2005r.htm
01771
2006/01/02(月) 19:22:40地上に置くと、秒速1cmで歩く虫がいる。
長さが10cmの、いくらでも延びるゴムひもがある。
(1) 虫をゴムひもの一端に乗せ、ひもの上を他端に向けて歩かせる。
同時に、ゴムひもが毎秒10cmの割合で延びていくとする。
このとき虫は他端に到着できるだろうか？
(2) ゴムひもの長さを表す函数をr(t)とするとき、虫が他端に
到着できるためにr(t)が満たすべき条件はどんなものか？
ちなみに(1)では、r(t)=10+10tである。
なお、ゴムひもは一様に延びるものとする。たとえば、ひもの中点に
印を付けると、ひもがどんなに延びても印は中点のままである。
0178１３２人目の素数さん
2006/01/02(月) 21:49:06ゴムひもがのびることによって虫のスピードはあがると考えていいすか？
t秒放置したのち一瞬でt･10cmのばすという操作を繰り返すとかんがえて
t→0とするとかんがえると虫は毎秒1cmよりはやくなるよね？この方針で桶？
01791
2006/01/03(火) 02:12:44ひもの一端を地面に固定した上で、虫の対地速度を考えれば、それでおｋ。
この場合、たとえば中点の対地移動速度は5cm/sなので、
仮に虫が中点にいたとすると、その瞬間には虫は対地速度6cm/sで
移動していることになる。
なお(2)については、およその見当はついているものの、
厳密な解答は持っていませんのであしからず。
0180１３２人目の素数さん
2006/01/03(火) 02:19:040181１３２人目の素数さん
2006/01/03(火) 02:59:19だとするとこう？
ゴムひもをx=0に固定しもう片方の端がx>0をx=r(t)にしたがってうごくとする。
このゴムひも上をx軸正の方向にゴム上を等速度vでうごくとする。
t秒後の虫の位置をs(t)としてs’=v+(s/r)r’。変形して(s/r)’=v/r。
s(0)=0からs/r=∫[0,t](v/r)dt。“虫がもう一端に達する⇔s/r=1となる時刻がある”である。
(1)r=10t+10、v=1のときs/r=∫[0,t](1/(10t+10))dt=(1/10)(log(10t+10)-log10)であるからt=e^10-1で到達する。
(2)もう一端に達しない⇔∫[0,t](1/r)dt＜1/v (∀t)
たとえばr(t)=ve^tのときならもう一端には到達しない。
01821
2006/01/03(火) 03:33:58ご名答。俺も今さっき、(2)も同じ結論に達したところ。
「虫がもう一端に達する⇔∫[0,T](v/r)dt=1となる正の時刻Tがある」ですな。
v=1、r(t)=10+t^2 とすると、もう無理。
v=1、r(t)=10+at^2 （a＞0）の場合、aが小さければ届きそうなんだけど、
計算が面倒なので放棄。
蛇足ながら、(1)の、到達できることの簡単な説明を。
まず、ひもの1/10の地点が1cm/sで動いているのに対し、
虫は1cm/sより若干は速く進んでいることを考えれば、
1/10の地点には到達できる。この瞬間の虫の対地速度は2cm/s。
ひもの2/10の地点が2cm/sで動いているので、2/10地点にも到達できる。
この瞬間の虫の対地速度は3cm/s。以下同様にして、3/10、4/10、‥と
次々に到達できることがわかる。
0183１３２人目の素数さん
2006/01/03(火) 15:55:340184１３２人目の素数さん
2006/01/03(火) 16:31:33a＜π^2/40 なら到達可能。
0185１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 17:30:23Π(1-a_t)がとりうる値をすべて決定せよ。
0186１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 23:21:27この時、そのn多角形の内角が最低でも1つ、鋭角となる確率を求めよ。
0187１３２人目の素数さん
2006/01/06(金) 00:30:000188１３２人目の素数さん
2006/01/06(金) 19:13:05半円上に n-1 個以上の頂点が来ればいいのかな？
でも計算の仕方が分からんｗ
0189１３２人目の素数さん
2006/01/06(金) 22:59:56円周上に並んだ頂点を左回りにP1, P2, P3, ... , Pn と命名。
命題 Ai : 「頂点 Pi が鋭角である」 と定義。
このとき、求める確率は
P(A1∪A2∪A3∪...∪An ) = ΣP(Ai) - ΣP(Ai∩Aj) + ΣP(Ai∩Aj∩Ak) -+...
ここで、隣り合わない2頂点が共に鋭角になることはない(証明略)ことから
P(A1∪A2∪A3∪...∪An ) = ΣP(Ai) - ΣP(Ai∩A{i+1})
= nP(A1) - nP(A1∩A2)
P(A1) は Pn(位置を固定して考える) を端点にもつ半円の片側に
残りn-1点のうちn-2点が含まれる確率なので P(A1) = (n-1)/2^{n-2}
P(A1∩A2) は、arg(Pn)=0 、θ < arg(P1) < θ+dθ の位置にあるとすると
(1) 残りの n-2点が π+θ < arg(Pi) < 2π に存在する確率と
(2) 一点が π < arg(Pi) < π+θ、n-3点が π+θ < arg(Pi) < 2π に存在する確率
の和である。
0190１３２人目の素数さん
2006/01/06(金) 23:09:15(1) は (n-1)!/(n-3)! (dθ/(2π)) (θ/(2π)) ((π-θ)/(2π))^{n-3}
(2) は (n-1)!/(n-2)! (dθ/(2π)) ((π-θ)/(2π))^{n-2}
P1の位置が 0 < arg(P1) < π の範囲内での(1)と(2)の確率を足し上げて
P(A1∩A2) = (n-1)/(2π)^{n-1}∫{0->π} (n-2) θ(π-θ)^{n-3} + (π-θ)^{n-2}
= 1/2^{n-2}
nP(A1) - nP(A1∩A2) に以上の結果を代入して
P(A1∪A2∪A3∪...∪An ) = n(n-1)/2^{n-2} - n/2^{n-2} = (n^2-2n)/2^{n-2}
となったんだけど、n=4 を代入すると 確率が 2 になるのでありえない。
どっかで間違ってることは確かなんだけど、それがどこなのかわからない(´･ω･`)
0191１３２人目の素数さん
2006/01/06(金) 23:12:30この中から３個の球を同時に取り出す。
取り出した球の数字について考える。
(1) ３つの数の和が５である確立
(2) ３つの数字のうち、最も大きい数が４である確立
(3) ３つの数の積が偶数である確立
0192１３２人目の素数さん
2006/01/06(金) 23:30:000194１３２人目の素数さん
2006/01/07(土) 00:14:120195189
2006/01/07(土) 02:25:57Pnを固定して残りn-1点を円周上に配するのと、円周上にn点配するのは
全く別のことだ。
前者だとPnとP1の間の角が後者の場合よりも小さくなりがちだ。
計算やり直しだな。
0196１３２人目の素数さん
2006/01/07(土) 05:41:09頑張ってくれ。解答もちゃんと用意してあるから。
0197１３２人目の素数さん
2006/01/07(土) 14:11:08同様に確からしい、をどう定義するかで確率が変わるから、そこはキチンと明示してくれよ。
0198１３２人目の素数さん
2006/01/07(土) 14:20:230199１３２人目の素数さん
2006/01/07(土) 14:26:000200196
2006/01/07(土) 14:30:500201188
2006/01/07(土) 15:33:17n=5の場合。
1点目はどこでもよい。
2～5点目は、1点目から見て+πラジアンまでの位置 か -πラジアンまでの位置かのいずれかにある（いずれも確率1/2）。
前者を'+' 後者を'-' と表記すると、題意を満たす2～5点目の配置は、
++++
-+++
+-++
++-+
+++-
----
+---
-+--
--+-
---+
の 10(=5*2) 通り。
よって、求める確率は、
10*((1/2)^4)
= 5*((1/2)^3)
= 5/8
同様の議論で、頂点数がnの場合、求める確率は、
n*((1/2)^(n-2))
一応、n=4 で確率1になるので、正しげなんだけど、どう？
0202188
2006/01/07(土) 15:46:37+1/100π, -1/100π みたいなのばかり、1点目の近くに密集している場合も題意を満たしますね。
0203189
2006/01/07(土) 16:16:13スマートじゃなくてすまない(´･ω･`)
>>189-190の計算で間違ってたのは P(A1) の計算だったみたい。
点Pn を arg(Pn) = 0 の位置に固定したときに、P1 が鋭角になるのは
Pn 以外の n-1個の点が
(1) 全て π < arg(P) < 2π の位置にある
(2) 1個は 0 < arg(P) < π で、n-2個が π < arg(P) < 2π の位置にある
の二通りで
(1) の確率は (1/2)^{n-1}
(2) の確率は (n-1) * (1/2)*(1/2)^{n-2}
∴ P(A1) = 1/2^{n-1} + (n-1)/(2^{n-1}) = n/2^{n-1}
他は、189-190の通りに計算すれば、求める確率は
n (n/2^{n-1} + 1/2^{n-2}) = n(n-2)/2^{n-1}
0204１３２人目の素数さん
2006/01/07(土) 16:44:160205１３２人目の素数さん
2006/01/07(土) 18:30:52正方形の場合は鋭角が1つもない。
だから、n=4のときは1未満になるよ。
>>189
これは、1問でも解けたら凄いと言われる、あるテスト（大学生用）からとってきた問題なんだけどね・・・。
凄いね、大正解！おめでとう。
0207１３２人目の素数さん
2006/01/07(土) 22:45:570208１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 08:20:311
∫((ln(x+1)) / (x^2+1))dx
0
これを計算せよ。
0209１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 08:33:31なつかし～な、それ。
0210１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 09:02:420211１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 10:24:39宿題じゃありませんが何か？
てか普通に考えて、宿題だったら別の所に書き込むだろ。
頭を使うから面白いと思っただけ。文句があるなら放置すれば良いじゃん。
0212１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 11:02:14もまいの書き込むタイミングが悪いから変なちゃちゃが入った
とは解せんのか？
0213１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 11:34:38JH内で意見が分かれていること。
0214１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 13:13:18そか、円の問題の出題者が帰って来てないか。
もうその問題は解決してると思ってたんだが、スマソ。
0216１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 14:22:460217１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 07:03:02確かに出す方も出す方だが、騒いでる方も5分で解いてやって、
「これは簡単すぎるから、もっと面白い問題を持って出直してこい」とか言えばいいものを。
そうしてやれば、出してる方も「こいつらは実は解けないからこういう風にしか言えないんだ」とか変に誤解することもないだろうし。
っていうのも>>215の言うようにスレ違いか。
それから、>>210 = >>216はそんなに煽らなくていいだろ。
また>>211が帰って来てややこしくなるじゃんよ。粘着しすぎ。もうちょっと考えろ。
あと考えたが、俺的には>>211は的を得てるね。これは多分宿題じゃない。
ただ、>>211は問題がこのスレの住人が求めているものではないと分かっていないだけじゃね？そんな>>211は半年ROMって来い。
・・・それとも、>>208は、本当はそんなに難しいのか？基本に見えるが。
0218１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 08:12:17>>63-64
俺のイメージだと、うまい変形を考えて解く定積分の問題と、うまい数え方を考えて解く確率の問題を
このスレに出した場合、前者は宿題、後者は面白い(？)問題 という扱いになると思う。要するに>>63。
0219１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 08:58:57実際に解いてからしろ、というのには酸性だけど、
問題を出す側にも、
問題文だけ読んである程度面白さが伝わるようにする
というのは必要かもね。
解いてみるまで面白さがわからないのだと、
解く側のモチベーションが上がりにくいし、
不必要に煽る奴も出てくるんじゃないかな。
0220１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 09:04:37＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ス レ 再 開
以降は、>>218-219を参考にしてマターリ行きましょう。
0221１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 10:35:14「f(n)/nが自然数になる⇔nが素数である」は正しいか。
0222１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 12:20:18みたことある
0223１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 14:01:50http://tv8.2ch.net/test/read.cgi/zurui/1096206531/80
0224１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 14:43:27問題集に載ってるよ。
DQN向けの大学教養の微積の問題集に載ってるよ。
去年、演習問題のレポートにもなったし。
変数変換して解くだけ…
５分もかからない問題、面白いと言うほどの問題ではない。
0225１３２人目の素数さん
2006/01/10(火) 02:16:523枚の金貨があるが、その中に本物よりも1グラム軽い偽物が含まれる可能性がある。
偽物は1枚かもしれないし2枚かもしれないし、もしくは3枚とも偽物、あるいは全部本物かもしれない。
天秤と、本物と分かっている金貨を何枚でも使うことができるが、
どれが偽物か完全に判別するのは、天秤2回では不可能なことを示せ。
（もちろん、金貨を通貨として使うなどのとんち系の解法は禁止である）
0227１３２人目の素数さん
2006/01/10(火) 21:21:57＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
議 論 再 開
0228１３２人目の素数さん
2006/01/10(火) 22:21:270229１３２人目の素数さん
2006/01/10(火) 22:37:50その日は頻尿だったのでヤバイかなぁ～と思いつつ電車に乗ったんだよね。
自分が降りる駅の一つ手前で、なんと！人身事故で停車・・・
乗ってる間も小便を我慢してたんで俺の顔は真っ青でやばい汗ﾀﾞﾗﾀﾞﾗだったと思う。
案の定、我慢できず脱尿、脱尿、脱尿、だっぷん・・・・・
まず、しゃがんでカバンに入っていたコンビニ袋を取り出しました。
俺の行動に周りはいい迷惑だったと思う。たぶんゲロを吐くと思われたと・・・
でも俺はなんのタメライもなくズボンとパンツを下げ、チンコ丸出しで
そのビニール袋に発射。。。
「 ブシュブシュ ブシュブシュ ブシュ～」と俺のチンコから
「ポタッ ポタッ ポタッ」と袋へ落ちる
悪臭と周りの人達の驚きの眼差し･･･そして罵声・・・。
俺は顔をあげられない・・・チンコをポケットティッシュで拭き、俺はしゃがんだまま・・・。
約１時間そのままだった・・・
やっと電車が動いた時、いままで罵声を言ってた周りの人が
「よかったな、はやくうち帰って風呂入れよ＾＾」
ってやさしく声をかけてくれた。
俺はあまりの惨めさ、恥ずかしさで泣いた。
でも本当は感謝の言葉で大泣きしていた俺がいた。
0230１３２人目の素数さん
2006/01/11(水) 11:27:43しかし途中で雨が降ってきたので、毎時９キロの速さで走ったところ３０分で家に着いた
Ａ君が走り出ししたのは駅を出発してから何分後？
0231１３２人目の素数さん
2006/01/11(水) 12:56:47---
関数x(t)、y(t)はx:[0,1]→R、y:[0,1]→Rの連続関数であり、
x(0)=y(0)=0、x(1)=y(1)=1を満たす。
この時、次の二つの問いに答えよ。
(1)
任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが無理数である。
という条件を満たすx(t)、y(t)の例を一つ求めよ。
(2)
任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが有理数である。
という条件を満たすx(t)、y(t)は存在するか。
0232１３２人目の素数さん
2006/01/11(水) 16:46:27少なくとも一つ面として持つことを示せ。」
ヒント：面あたりの辺の本数の平均を評価すればよい。
0233１３２人目の素数さん
2006/01/11(水) 17:36:35(1) たとえばx(t)=t, y(t)=log2(t+1)
(2) すべての自然数と,0<a<1を満たすすべての有理数は、オイラーの対角線論法によって
1対1に対応することが示されている。したがって(x(t),y(t))の組と対応するtも、自然数と1対1に対応しなければならない。
ところが実数tの濃度は自然数より濃いから、これは矛盾である。
0234１３２人目の素数さん
2006/01/11(水) 17:58:14(2)はおれもそれ考えたけど、x(t)やy(t)がある値を
無限回とる場合とかはまずいよね。なんか引っ掛けっぽい。
答えは存在するよね。
x(t)
= 0 on [0, 1/2)
= 2t - 1 on [1/2, 1]
y(t)
= 2t on [0, 1/2)
= 1 [1/2, 1]
0235１３２人目の素数さん
2006/01/11(水) 18:40:55(2)に何か条件を付けてみたらどうなる？
如何なる小さな（空でない）区間でも定数でないとか。
0236１３２人目の素数さん
2006/01/11(水) 19:23:08単調増加ってこと？
だったら>233 の議論が成立してるよね。
0237１３２人目の素数さん
2006/01/11(水) 19:49:37単調とは全然限らないよ。
例えば折れ線グラフ。
これでは（反）例は出来ないだろうが。
0238１３２人目の素数さん
2006/01/11(水) 21:16:30それより問題って自分で考えたのでもいいの？
0239１３２人目の素数さん
2006/01/11(水) 21:18:11不加算回とることになると思うんだけど、仮に
x(t) = c が不加算個の零点を持つとすると
どこかに連続濃度で零点の集積点が存在してて
そっから定数区間の存在とか言えそうな気がする。
直感で書いてるので変なこと言ってるかもしれないが。
0240１３２人目の素数さん
2006/01/11(水) 21:22:170241１３２人目の素数さん
2006/01/11(水) 21:29:330242238
2006/01/11(水) 21:30:06簡単だと思うんで、もしあれならスルーしてくらさいΣは文字表現上わかりにくいから使わないですけど了承くださいネ。
数列の一般項を
Ａn＝sin(n×75ﾟ)と定義します
この時
Ａ1からＡ100までの和を求めなさい
0243１３２人目の素数さん
2006/01/11(水) 21:34:43>>241
ﾜﾛｽｗ
0244１３２人目の素数さん
2006/01/11(水) 22:07:3597～100までの和は常識と和積で解けます
糸も簡単に…
良問と自負してたのに
0245１３２人目の素数さん
2006/01/11(水) 22:19:200246１３２人目の素数さん
2006/01/11(水) 22:23:17おととい、センター模試の質問でそんなのがあって
解いたばかりなので、どこが面白いんって感じだった。すまん
0247１３２人目の素数さん
2006/01/12(木) 00:00:45その問題見たいです。お暇なら貼ってください
次、たまにある問題ですけど…もしかしたら非常によくある問題かも
①～⑧までの番号の付いた玉がそれぞれ１個ずつあります。
同じく①～⑧までの番号の付いた箱が１個ずつあります。
ここで①～⑧までのボールを①～⑧までの箱に一つずつ入れる時、同じ番号同士セットにならないように入れる入れ方は何通りあるでしょうか
0248１３２人目の素数さん
2006/01/12(木) 00:12:30答えはきれいにはならなかった気が
0249１３２人目の素数さん
2006/01/12(木) 00:16:47x(0)=y(0)=0、x(1)=y(1)=√2
に変えるとどうなる？
0250１３２人目の素数さん
2006/01/12(木) 00:33:22な折れ線で(√2, √2) まで結んでいけばok
あー、お茶漬けがたべたい。
0251１３２人目の素数さん
2006/01/12(木) 00:38:340252１３２人目の素数さん
2006/01/12(木) 00:41:12なるほど
0253１３２人目の素数さん
2006/01/12(木) 01:47:037!
0254253
2006/01/12(木) 01:48:490255253
2006/01/12(木) 01:54:030256１３２人目の素数さん
2006/01/13(金) 20:47:36x(0)=y(0)=0、x(1)=y(1)=1
任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが有理数である。
という条件を満たすとする。
このとき、x-y平面上の曲線( x(t),y(t) ) t∈[0,1]の長さの最小値を求めよ。
0257１３２人目の素数さん
2006/01/14(土) 00:39:33[0,1]×[0,1]の部分集合Eに対し
Ex={y|(x,y)∈E}
Ey={x|(x,y)∈E}
と定める。このとき、次を同時に満たすEが存在することを示せ。
・各 x∈[0,1] に対して、Exは[0,1]から高々可算個の点を除いた集合である。
・各 y∈[0,1] に対して、Eyは[0,1]の高々可算個の点から成る集合である。
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136598062/800
0258１３２人目の素数さん
2006/01/14(土) 17:48:370259１３２人目の素数さん
2006/01/16(月) 20:01:240260１３２人目の素数さん
2006/01/16(月) 20:08:49m=2006の時、明らかに
与式 = 1.0000……
となり、循環小数である。
これは、他のどのような有理数でも成立するため、
答え m≠0を満たす全ての有理数。
0261１３２人目の素数さん
2006/01/16(月) 23:15:36連続体仮説を仮定すれば楽勝。
Fubini の定理に関連して、測度論の本に例として載っていると思う。
仮定しない場合は、Turing degree とかを使うのではないかと。
0262１３２人目の素数さん
2006/01/18(水) 12:14:04nを奇数、a1，…，anを相異なる整数とする。多項式 1＋Π[i＝1～n](x－ai) が
Z[x]上 既約にならないことはあるか。
0263１３２人目の素数さん
2006/01/18(水) 19:05:14もとの数オリの問題はどんな問題？
それが分かれば分かるかも
0264１３２人目の素数さん
2006/01/20(金) 09:00:51／⌒／ へ ＼|＼
／ / / /( ∧ ） ﾍ ﾍ
く ／/ （ /| | V )ﾉ（ ( （ ﾍ＼ お て
┘／＾| ＼ （ | |ﾍ| ﾚ ＿ﾍ|ﾍ ) ＿ﾍ し め
/| .| | ）） )/⌒""～⌒"" iii＼ え ｜
.| α ＿ ﾍ ﾚﾚ "⌒""ﾍ～⌒" ||||＞ て
＿∠＿ ｲ | | /⌒ｿi |/⌒ﾍ ＜ や に
＿ (＿ ) ﾍ | ∥ （） || || （） || ＿＼ ん は
／ ( ) ﾍ |i,ﾍゝ=彳 入ゝ=彳,i|＼ ね
／ー （ ／ """/ ー"""" ＞ ｜
＿） ｜ ﾍ（||ii ii|||iiii＿/iii)ノヘ|||iiiii＜ |||||
｜ ( ﾍ|||||iiii∠;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ﾌ ""'
///// ﾍ＿／ ) ﾍ|||""ﾍ===二二二===７ﾌ / ﾑ／∧ ∧ ∧
///// ( | ii | |ＬＬ|＿|＿ＬＬＬ// | ）（ ∨| ∨)
・・・・・ ) )| || | |||||||||||||||||||||||| | | （ ﾍ | ﾍ ) (
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／ / (|.| | | | | | iii ) | ﾍ ）( )
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＼ ) ）..| |ﾍＬ|＿|＿Ｌ/ / / ,,,,--（/Vﾍ）(／
/ ( .|ﾍ ＼＿ﾍ |＿/ / ／
0265１３２人目の素数さん
2006/01/20(金) 15:30:54ちょｗｗｗｗ確かにあってるけどｗ
0266１３２人目の素数さん
2006/01/20(金) 18:20:14馬鹿は引っ込め
>>262
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_pro_a017.htm
0267１３２人目の素数さん
2006/01/20(金) 20:36:49( ゜д゜ )
ゴト ／| y |) ターンしちまぇよ…
/￣;y=ー￣￣/||
/＿＿＿＿＿/. ||
|| || ||
|| ||
0268１３２人目の素数さん
2006/01/22(日) 15:53:46F_p(x)=pF_p(2x) (0≦p≦1/2)
F_p(x)=(1ｰp)F_p(2xｰ1)+p (1/2≦p≦1)
(1)F_p(x)は連続関数であることを示せ。
(2)xが二進法展開でx=1/2^a_0+1/2^a_1+1/2^a_2…1/2^a_n(a_0<a_1<a_2<…<a_n)なる表示を持つとき、
F_p(x)=p^a_0+tp^a_1+(t^2)p^a_2+…(t^n)p^a_n
を示せ。
0269１３２人目の素数さん
2006/01/22(日) 23:24:080270１３２人目の素数さん
2006/01/23(月) 13:52:05> F_p(x)=p^a_0+tp^a_1+(t^2)p^a_2+…(t^n)p^a_n
t の定義は？
0271268
2006/01/23(月) 15:47:160272１３２人目の素数さん
2006/01/24(火) 17:44:310273１３２人目の素数さん
2006/01/24(火) 22:41:53そんな既出問題より、どうせなら立方数で行こうぜ
0274１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 08:56:12この円の面積を4本の異なる直線で6等分せよ。
ただし、4本の直線はどれも、円と二点で交わるものとする。
0275１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 15:34:41√3/4 < π/6 だから、存在は中間値の定理より明らか。
0276１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 21:50:15解説ｷﾎﾞﾝ
0277１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 14:16:00何か勘違いしてないか？直線4本だぞ？5本なら(左から右に並べて縦に引けば)明らかだが。
0278１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 15:33:19中心角が 2π/3 の扇形 2 個を半分にすればいいんでしょ。
頂角が 2π/3 で斜辺の長さが 1 の二等辺三角形の面積は √3/4 じゃないの。
0279１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 18:20:10んじゃ、同じ問題で9分割してみてくれ。
0280277
2006/01/27(金) 21:58:01それ、「線分」だったら出来るけどさ、「直線」だと無理でしょ？そういう二等辺三角形を
書いた時点で、(引いた直線によって)既に書いてある他の扇形がさらに分割されてしまう。
0281１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 22:09:19そうでもない、画像作ってウプするから、しばらく待て
0282１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 22:14:46
超下手な画像だが、とりあえず上げて見た。
解説をすると、まず、二本の直線を円の直径になるように引く。
この際、二本の直線は60°で交わるように引く。
その後、中心角120°の扇型が二つ出来上がるが、
この二つを二等分すれば、それで六等分割が完成する。
>>279
9等分割の間違いだろ。 できなさそうだな。
0283１３２人目の素数さん
2006/01/28(土) 00:59:42最低限円の中心を通るようにかけよｗ
0284277
2006/01/28(土) 08:58:47ホントだ…ちゃんと面積計算したら、扇形の弧の部分で交わるように直線引いて やっと2等分に
なるんだな。もっと中心の近くに直線引かないと2等分されないと思ってた。サンクス。
0285１３２人目の素数さん
2006/01/28(土) 15:22:190286１３２人目の素数さん
2006/01/28(土) 16:14:510287１３２人目の素数さん
2006/01/29(日) 21:03:47aをbで割った商をQ(a,b)、余りをR(a,b)と書く。
このとき、連立方程式
Q( (a^2+b^2)， (a+b) ) = Q( (a^3+b^3)， (a^2+b^2) )
R( (a^2+b^2)， (a+b) ) = R( (a^3+b^3)， (a^2+b^2) )
を解け。
0288１３２人目の素数さん
2006/01/29(日) 21:10:10a≠bを忘れた。
0289１３２人目の素数さん
2006/01/31(火) 04:04:210290１３２人目の素数さん
2006/01/31(火) 06:16:540291１３２人目の素数さん
2006/01/31(火) 08:30:000292１３２人目の素数さん
2006/02/05(日) 08:17:020293１３２人目の素数さん
2006/02/11(土) 18:17:51が整数である事を証明できますか？
0294１３２人目の素数さん
2006/02/11(土) 22:17:540295１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 00:21:48そりゃ、電卓で計算すりゃ、その整数は１１だってのが分かるけど、
それじゃ数学じゃ無いじゃん。
0296１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 00:23:13P(0),P(1),・・・P(n)が整数ならば、すべての整数kに対し、P(k)は整数であることを証明せよ。
0297１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 00:59:500298１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 01:01:06いや、11であることを直接示さずに、
整数であることだけ示すのは難しいだろう、ということ
0299１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 01:45:24難しくない。 5 + 6 である事を示せばよい。
0300１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 19:03:54http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136270347/597
任意の自然数nに対して、xy平面上の正方形で、その周上および内部に
合計でちょうどn個の格子点を含むものが存在することを示してください。
円ならどうか？
0301１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 20:39:44点(√2，√3)から各格子点までの距離は全て異なる。なぜなら、2つの格子点(x，y)，(a，b)に対して
(x－√2)^2＋(y－√3)^2＝(a－√2)^2＋(b－√3)^2とすると、式変形して(x－a)√2＋(y－b)√3
＝(x^2＋y^2－a^2－b^2)/2∈Qとなるが、一般に有理数p，q，rに対してp√2＋q√3＝rが成り立つのは
p＝q＝r＝0に限られるから、x＝a，y＝bとなり(x，y)＝(a，b)となるから。
そこで、点(√2，√3)から各格子点までの距離を小さい順にr1，r2，r3，…とすると、点(√2，√3)を
中心として半径r (rn＜r＜r(n＋1))の円を書けば、この円の周上には格子点がなく、内部にはちょうどn個の
格子点が存在するので、これが求める円となる。
0302１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 21:18:03任意の整数i,jに対してSi∩Sjが空集合でないとき、
S1∩S2∩…∩Snが空集合でないことを示せ。
0303１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 22:10:23n本の直線を平面上にどの３本も同じ点で交わらないように配置して、
これを十分長い、細長い長方形に置き換えると、
Si∩Sjが空集合でないは満たすけど、
どの i,j,k に対しても Si∩Sj∩Sk=φになるよね。
0304１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 22:14:58ぬお、本当だ……あれ・・・三次元だと似たような話があったような気がしたんだけど
もう少し考えてくるわ
0305１３２人目の素数さん
2006/02/14(火) 00:44:11４５６
７８９
と９マスに分かれたタイルがあり、１と３に黒いナイト（チェスの駒）
７と９に白いナイト（チェスの駒）がおいてある。同じ番号のマスに
２つの駒は置けないとして、白の駒を１と３、黒の駒を７と９に
入れ替えるのは最低何手か？ 最低の手数であることも証明してね。
（ナイトの駒の動きはわかるよね。左右上下に将棋の桂馬みたいに
動かせます）
◆ わからない問題はここに書いてね 186 ◆より
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1139675746/148
0306１３２人目の素数さん
2006/02/14(火) 02:10:12p を 4n-1 型の素数として、
x を 1 の原始 p 乗根、g を p の原始根とすると
(x - x^g + x^(g^2) - x^(g^3) + … - x^(g^(p-1)))^2 = -p
が成り立つ。
p = 11, g = 2, x を 1 の原始 11 乗根とすれば
x - x^2 + x^4 - x^8 + … - x^512
= x - x^2 + x^4 - x^8 + x^5 - x^10 + x^9 - x^7 + x^3 - x^6 …(*)
で、(*)^2 = -11
(*) は２項だけを除いて、偶数乗の項の符合が -、
奇数乗の項の符合が + という特殊事情があって簡単にできる。
(*) = (x - x^2 + x^3 - x^4 + x^5 - x^6 + x^7 - x^8 + x^9 - x^10) + 2(x^4 - x^7)
= (x - x^11)/(x + 1) + 2(x^4 - x^7)
= (x^6 - x^(-6))/(x^6 + x^(-6)) + 2(x^4 - x^(-4))
x = e^(6π/11) とすれば
(*) = i{tan(36π/11) + 4sin(24π/11)}
= i{tan(3π/11) + 4sin(2π/11)}
(*)^2 = -11 だったから
{tan(3π/11) + 4sin(2π/11)}^2 = 11
0307１３２人目の素数さん
2006/02/14(火) 02:15:05○ x = e^(6πi/11) とすれば
0308１３２人目の素数さん
2006/02/14(火) 20:27:02× (x - x^g + x^(g^2) - x^(g^3) + … - x^(g^(p-1)))^2 = -p
○ (x - x^g + x^(g^2) - x^(g^3) + … - x^(g^(p-2)))^2 = -p
おまけ
(tan(π/7) - 4sin(2π/7))^2 = ?
(tan(π/19) - 4sin(6π/19) + 4sin(7π/19) + 4sin(8π/19))^2 = ?
(tan(π/23) - 4sin(2π/23) + 4sin(3π/23) - 4sin(5π/23) - 4sin(6π/23))^2 = ?
0309１３２人目の素数さん
2006/02/24(金) 20:16:100310１３２人目の素数さん
2006/02/25(土) 11:25:110311１３２人目の素数さん
2006/02/25(土) 13:18:29ないとは言えない。
0312１３２人目の素数さん
2006/02/25(土) 17:49:03円周率の並び……を定義しないとねぇ。
0313１３２人目の素数さん
2006/02/25(土) 19:48:16----
1729は、二つの3乗数の和で2通りに表せる最小のものである。
1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3
では、「二つの3乗数の和で3通りに表せる数の最小のもの」を見つけよ。
----
この問題のオリジナルは、ラマヌジャンの逸話が有名だけど、こういう問題を一般化してみると面白いかも。
0314１３２人目の素数さん
2006/02/25(土) 21:03:11Cマガジンって・・・・読んだ事無いけど、いかにもプログラミングって感じの本じゃないか？
虱潰し以外に、考える方法あるんかい？
0315１３２人目の素数さん
2006/02/25(土) 22:15:21一般化は無理なのかな…
0316１３２人目の素数さん
2006/02/25(土) 22:58:590317１３２人目の素数さん
2006/02/25(土) 23:21:07AA付けろよ
0318１３２人目の素数さん
2006/02/25(土) 23:52:48わかりやすく書きなおしてみると、こんなの。
「それぞれ偶数個の白玉と黒玉からなる数珠があるとき、白玉黒玉が
どう並んでいようとも、どこか適当な２点で数珠をきれば白、黒
ともに半々にできることを示せ。」
どう切り込むか悩むけど、わかってみれば簡単。中学生にも理解できる。
0319１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 04:43:56事実とすれば東大のﾊﾟｸｰﾘだがそれはいかがなものか
0320１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 05:06:24とかどうかな？
0321１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 06:08:53｢直角三角形の斜辺の長さの２乗は他の二辺の２乗の和に等しい｣
なぜ等しいのか証明せよ
0322１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 08:25:07正方形ABCDの辺ABの長さをa,bに分割する点をP、辺BCの長さをa,bに分割する点をQ
辺CDの長さををa,bに分割する点をR、辺DAの長さををa,bに分割する点をSとする。
ここで、四角形PQRSは正方形であるから、一辺の長さをcとする。
正方形ABCDの面積は(a+b)^2、一方正方形ABCDの面積は、
4つの直角三角形と、正方形PQRSの和でも書けるので、2ab+c^2
したがって、
(a+b)^2=2ab+c^2
展開して整理すると、
a^2+b^2=c^2
0323１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 10:48:14事実だけど、東大のパクリってどういうこと。
過去に同じ問題出たの？
0324１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 11:00:42サンドイッチが食べたくなったじゃないか。
0325１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 11:26:26同じではないがこんなのがある
http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/02/t01-21p/4.html
0326１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 11:27:49余弦定理より
a^2=b^2+c^2-2bcCos90じゃダメなん？
0327１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 11:33:16△ＯＡＢ∧Ｏ＝90度なら
|OA↑-OB↑|^2＝|OA↑|^＋|OB↑|^2-2OA↑・OB↑
cos90゜＝０より(ry
0328328
2006/02/26(日) 11:36:450329329
2006/02/26(日) 11:37:150330330
2006/02/26(日) 11:39:480331331
2006/02/26(日) 11:42:023月31日
0332１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 11:49:30存在するとすれば、奇関数で微分不能であることはすぐにわかるね。
実数を二つのカテゴリーA,Bにわけて（ただし、a∈Aならば-a∈A
かつ、b∈Bならば-b∈B）、f(a)=b、f(b)= -a となるような関数を
定義すればいいんだな。たとえば、x=1を定義域から外していい
のなら、
x=0でf(x)=0
0<|x|<1でf(x)=1/x
|x|>1でf(x)=-1/x
ってのがある。
0333１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 13:04:46似て非なる問題だと思われ。
以下のようにして解いてみたけど、京大の問題と全然違うん
じゃないの？
両端が赤の弧は赤、青の弧は青、両端の色が異なる弧は黒に
塗る。すると、当然ながら、赤と青の弧が隣り合うことはな
く、必ず間に黒い弧がいくつか挟まるはず。
ところで、黒い弧が二つ並ぶ場合、端の玉は赤ー青ー赤か
青ー赤ー青なので、この二つの弧と真ん中の玉をとりはずして、
両端の同色の玉を融合させて輪を短くしても、残りの弧の色は
元と変わりはないはず。こうやって、隣り合う黒い弧を二本
セットではずして輪を小さくしていって、黒い弧が連続しない
ように変形できる。
さて、ここで、たとえば、赤い弧の連結部分をひとつ取り上
げると、その両端には黒い弧が必ず存在し、そのさらに隣に
は青い弧がつながるはず。これらをとりはずして、切れ目に
現れた青い弧同士を繋げてやっても、残りの弧の色に変わり
はない。こうやって、赤い弧の連結部分を同様にして外して
いけば、いずれすべての赤い弧は取り外せる。残りはすべて
青か黒となるはずだが、青と青の間に黒い弧が一つだけはい
ることはできないはずなので、すべて青の弧になる。つまり、
黒い弧はすべて２個ずつセットではずしていくことができた
ことになる。よって、両端の色が異なる弧は偶数個あったと
いうことが示せた。
0334１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 13:56:51C-Magazineは今４月号でめでたく休刊です。
0335１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 14:10:36な、なぬ～～～～！
結構前に愛読してる先輩から借りて読んだんが、よさげな本だと思った。
休刊（≒廃刊）なのか…。
0336320
2006/02/26(日) 15:11:09それ友人が「これは惜しいな」って言ってきたやつと同じだｗ
結局一日後にその友人が発見しました。
0337１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 15:23:32x の小数部分 {x} を
{x} = x - [x] ([ ] はガウス記号)
と定義して
f(x) = 0 (if x=0)
f(x) = x-(1/2) (if x＞0 ∧ {-x}＜1/2)
f(x) = -x-(1/2) (if x＞0 ∧ {-x}≧1/2)
f(x) = x+(1/2) (if x＜0 ∧ {x}＜1/2)
f(x) = -x+(1/2) (if x＜0 ∧ {x}≧1/2)
0338１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 21:40:47ゴリ押し！
黒，白の数珠がそれぞれ2n個ずつあったとする。白の数珠を1つ選び、その数珠の番号を[0]とする。
この数珠から、時計周りに順番に数珠に番号[1]，[2]，…，[4n－1]をつけていく。ただし、[m]＝m＋4nZ
である。数珠の色が黒のとき、その数珠に重さ1を与える。白のときは重さ0を与える。[i]番目の数珠の
重さをf([i])で表すことにする。Si＝Σ[k＝i～i＋2n－1]f([i]) (0≦i≦4n－1)とおくとき、あるiが存在
してSi＝nとなっていることを示せばよい。まず、S(i＋1)－Si＝f([2n＋i])－f([i])＝0 or 1 or －1である。…＊
次に、M＝max[0≦i≦4n－1]Si，m＝min[0≦i≦4n－1]Siとおくと、Σ[i＝0～4n－1]Si＝2nΣ[i＝0～4n－1]f([i])＝4n^2
であるからM≧n，m≦nである。M＝n or m＝nのときは成立するから、M＞n，m＜nとしてよい。M＝Sx，m＝Syとして、
(x＜yのとき)＊より、x＜i＜yなるiでSi＝nを満たすものが存在する。よって成り立つ。(x＞yのとき)同様にして成り立つ。
0339１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 22:04:39そそ、そんな感じ。
重さ１とかいわんでも、起点となる玉から右回りにn個分のうち、
白玉か黒玉かどっちかの個数をf(i)として考えればよろし。どちらか
が半数なら、反対の色も半数だからね。f(i)-f(i+1)=0または±1と、
f(i)の最大最小ということね。
0340１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 22:58:58さっきはちょっと時間がなかったんで、補足します。
まず、白玉と黒玉は個数が異なってもいいんすよ。
白を2kとすると、黒は2n-2kですわ。合わせて2n個ね。
で、どれかの玉に起点を定めて、i番目の玉から右周りに
n個分のうち白玉の数をf(i)とするです。すると、f(i)とf(i+n)
はちょうど数珠を二つに割った片割れ同士に対応するので、
f(i)+f(i+n)=2kとなります。あと、f(i+1)は端の玉の出入り
だけ考えれば、f(i)からたかだか１増減するだけ。ちゅまり、
自然数としては連続的に変化するわけですね。ここが味噌か。
さらに、f(i)は周期2nの周期関数ですので、f(i+2n)=f(i)ね
（iは任意の自然数でよし）。
で、f(i)の値の最大値をM、最小値をmとしやす。んで、
そのときのiの値をそれぞれ、imax,iminとします。
すると、f(imax)+f(imax+n)=2k より、f(imax+n)=2k-M
ですが、この値はMを超えないので、2k-M≦Mとなり、
k≦Mが成り立ちます。同様にして、m≦kも成立。
f(i)の自然数としての連続性と最大、最小がkを挟むこと
から、f(i)=kとなるiが存在することは明らか。
0341１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 23:12:02うへ。なかなか、ややこしいすね。
確認する気にならんがな。
0342１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 23:19:130343340
2006/02/27(月) 00:32:17さっき予備校の模範解答みたら、
f(1)=kならそれが求める分割。
f(1)>kなら、f(1)+f(1+n)=2kより、f(1+n)<kで、その間にf(i)=kとなるiが存在する。
f(1)<kなら、f(1+n)>kで、同様。
と、簡単にやってあった。
0344１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 03:49:59分からない問題はここに書いてね２３２
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1139679770/
206 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/02/13(月) 00:12:11
知人に聞かれたがマジで分からん・・・。
・１時に１秒、２時に２秒…１２時に１２秒時報が鳴る時計がある
・時計は１秒単位で任意に時刻あわせできる
・２４時間時報が鳴り続けるには、最低何個の時計が必要か？
１個の時計だと、24 時間のうち、1+2+ ... + 12 秒時報が鳴っているが、
鳴っていない時間に、時刻をずらした時計を追加していくと
鳴りっぱなしを実現できるわけだが・・・。
だれか上手い考え方プリーズ。
全然分からなかったので、
コンピュータで計算して予想は801個。でも最少性の証明はわからん。
583 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/02/16(木) 00:57:51
>>435
レスありがとう。12時間制の時計ということです。
１時間ごとに時報がなることを考えると、
たぶん１時間鳴らし続けられれば自動的に２４時間なると思う。
0345１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 10:12:320346１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 11:37:10あわせ直す。これを延々続ける。
0347１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 12:08:390348１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 12:15:52(連続とは限らない)関数f：R→R は、任意の実数x，yに対してf(x＋y)＝f(x)cosy＋f(y)cosxを
満たしている。また、原点で微分可能とする。f(x)を求めよ。
0349１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 12:27:35とりあえずf(x)=sinxは条件を満たす
0350１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 12:29:22とりあえずf(x)=Csinxは条件を満たす
0351１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 12:04:430352１３２人目の素数さん
2006/03/01(水) 18:29:280353１３２人目の素数さん
2006/03/01(水) 18:53:470354１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 11:42:06どこに質問していいやら分からなかったので、一番趣旨に近いスレを選びました；
よくある問題なんですが、3人が1000円づつ払って、店員が200円抜いて300円返したら、100円合わない。
そんな面白問題を教えて欲しいです。
どうぞよろしくお願いします＾＾；
0355１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 13:28:36http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Club/7442/math/#30$
0356１３２人目の素数さん
2006/03/04(土) 23:53:00(1)∪[t∈∧]Itは可算集合になると言えるか。
(2)a，b∈∧ならばIa⊂IbまたはIa⊃Ibが成り立つとするとき、∪[t∈∧]Itは可算集合になると言えるか。
0357１３２人目の素数さん
2006/03/05(日) 07:23:38例えば Λ=R、It={t}とか。
0358１３２人目の素数さん
2006/03/05(日) 09:20:070359１３２人目の素数さん
2006/03/05(日) 21:23:270360１３２人目の素数さん
2006/03/06(月) 16:11:080361１３２人目の素数さん
2006/03/07(火) 00:33:193*3*3の立方体ブロックを組み立てる方法を2通り示す。
ただし回転と鏡映で移りあう物は同じ方法とみなす。
0362１３２人目の素数さん
2006/03/07(火) 16:36:48C[2m,m]*C[2n,n]/C[m+n,m] が整数であることを、組合せの数を考えることによって示せ！
できるかな～？
0363１３２人目の素数さん
2006/03/07(火) 17:16:39追加 ： a[m,n] = C[2m,m]*C[2n,n]/C[m+n,m] とおくとき、
a[m+1,n]+a[m,n+]=4a[m,n] を組合せの数を考えることによって示せ。
0364１３２人目の素数さん
2006/03/08(水) 00:59:22計算では示せるが、場合の数を考えると、どんな状況を考えたらよいかワカンネ！
0365１３２人目の素数さん
2006/03/08(水) 09:52:47(2)Rの可算部分集合全体をVとすると、包含関係⊂に関して(V，⊂)は半順序集合になる。
もし∪[t∈∧]Itが必ず可算集合になっているとすると、これは「Vの任意の全順序部分集合が
上界を持つ」ということを意味するから、Vには極大元αが存在することになる。αは可算集合だから、
αに含まれない実数xが存在する。このようなxを1つ選びβ＝α∪{x}とおくと、βもまた可算集合で、
しかもαはβの真部分集合となるので、αが極大元であることに矛盾する。従って∪[t∈∧]Itが非可算と
なる場合が存在することになる。
0366１３２人目の素数さん
2006/03/08(水) 10:33:01>>359で回答済み
0367１３２人目の素数さん
2006/03/08(水) 13:30:42上下左右の各方向に無限に敷き詰められたマス目がある。これらのマス目のうちいくつかを
黒で塗っていく。ただし、次の条件1，2をともに満たすように塗る。
条件1：黒マスに隣接する黒マスの個数は奇数である。
条件2：ちょうどnマスを黒で塗る。
(1)条件1，2をともに満たす塗り方が存在するための必要十分条件は、nが偶数であることを示せ。
(2)n≧6のとき、隣接する黒マスの個数が1つである黒マスは4個以上存在することを示せ。
(3)n＝2mとおく。隣接する黒マスの個数が1つである黒マスがちょうどk個である塗り方が、
k＝m＋1，m＋2，…，2mに対して必ず存在することを示せ。
0368１３２人目の素数さん
2006/03/09(木) 01:13:48nが偶数の時は2個ずつの島に分ければいいから可能。
nが奇数の時に不可能であることを示す。
まず、どんな島であれ、他の■と接している辺の数(0～4)を、
各■ごとに数えて総計すると偶数になることに注意しておく。
共有辺はちょうど2度ずつカウントされるのだから当たり前。
さて、nが奇数の時、少なくとも1つは奇数個の■から成る島がある。
その島の全ての■が、奇数個の■と接しているとすると、
接している辺の総計は奇数。これは上で述べたことに反する。
0369１３２人目の素数さん
2006/03/09(木) 04:10:58交互にサイコロを振り、出目に応じて点数を得て、
先に決められた得点（ゴール点と呼ぶことにする）
に達した方を勝ちとする。
サイコロを1回振るごとに、出目が6のときは0点、
その他の場合は出目の数をそのまま得点とする。
また、ゴール点以上の点数に達すれば、
ちょうどでなくとも勝ちとする。
2人のゴール点を同じとすると先手が有利となるので、
確率的に公平となるように、それぞれのゴール点を
定めたい。
そのようなゴール点の組合せは存在するか。
0370１３２人目の素数さん
2006/03/09(木) 13:25:55とりあえず……
さいころを一回振ったときの平均得点は2.5点だから、先手が2.5点分後手より余計に得点しなければならないとすると、先手と後手が入れ替わるのと同じ効果。
ということは、公平にするためのゴール点の差は0と2.5の間の値。かな？
0371１３２人目の素数さん
2006/03/10(金) 12:26:290372293の証明
2006/03/12(日) 13:56:45z^11= exp(πi)=-1
(1+z)(1-z+z^2-z^3+z^4-z^5+z^6-z^7+z^8-z^9+z^10)=1+z^11 = 0
1-z+z^2-z^3+z^4-z^5+z^6-z^7+z^8-z^9+z^10 = 0
(1-z^5)(z-z^2+z^3-z^4+z^5)=1
オイラーの公式により、z^k=cos(kπ/11)+isin(kπ/11)
よって
sin(kπ/11)=Im(z^k) = i(z^-k - z^k)/2
cos(kπ/11)=Re(z^k) = (z^-k +z^k)/2
tan(kπ/11)=sin(kπ/11)/cos(kπ/11) = i(z^-k - z^k)/(z^-k+z^k)=i(1-z^(2k))/(1+z^(2k))
tan(3π/11)=i(1-z^6)/(1+z^6)=i(z^5-z^11)/(z^5+z^11)=-i(1+z^5)/(1-z^5)= -i(2/(1-z^5)-1)
=-i(2(z-z^2+z^3-z^4+z^5)-1)=i(1-2z+2z^2-2z^3+2z^4-2z^5)
4sin(2π/11)=2i(z^-2-z^2)=-i(2z^2+2z^9)
tan(3π/11)+4sin(2π/11)=i(1-2z-2z^3+2z^4-2z^5-2z^9)
0373293の証明の続き
2006/03/12(日) 14:10:37=-4((1/2)^2+z^2+z^6+z^8+z^10+z^18-z-z^3+z^4-z^5-z^9
+2zz^3-2zz^4+2zz^5+2zz^9-2z^3z^4+2z^3z^5+2z^3z^9-2z^4z^5-2z^4z^9+2z^5z^9)
=-4(1/4)+z^2+z^6+z^8+z^10+z^18-z-z^3+z^4-z^5-z^9
+2z^4-2z^5+2z^6+2z^10-2z^7+2z^8+2z^12-2z^9-2z^13+2z^14)
=-4(1/4-z+z^2-z^3+3z^4-3z^5+3z^6-2z^7+3z^8-3z^9+3z^10+2z^12-2z^13+2z^12+z^18)
=-4(1/4-z+z^2-z^3+3z^4-3z^5+3z^6-2z^7+3z^8-3z^9+3z^10-2z+2z^2-2z^3-z^7)
=-4(1/4-3+3(1-z+z^2-z^3+z^4-z^5+z^6-z^7+z^8-z^9+z^10))
=-4(1/4-3)
=11
qed
0374１３２人目の素数さん
2006/03/12(日) 15:28:19(i) パティーに与えられた数は、2つのある自然数aとbの積abである。
(ii) セルマに与えられた数は、2つのある自然数aとbの和a+bである。
(iii) b＞a＞1である。
aとbがそれぞれいくつなのかは2人に教えられておらず、かつ、お互いに相手の数がいくつなのかも教えられていない。
その後、以下のような会話がなされた。
パティー：私にはaとbがいくつなのかわかりません。
セルマ：でしょうね。あなたにはわかるはずがないと思いましたよ。
パティー：なるほど。そうですか。ではaとbがいくつなのかわかりましたよ。
セルマ：そうですか。それなら私もaとbがいくつなのかわかりました。
さて、いま第三者であるあなただけが、「aとbはともに20以下である」ことを知っているとするとき、aとbを決定せよ。
0375１３２人目の素数さん
2006/03/12(日) 15:55:360376１３２人目の素数さん
2006/03/12(日) 15:56:48※１ コンパスの軸をずらす、又は描く円の半径の大きさを変える等するまでを１回とする。
※２ 点を打って「１辺０cmの正方形」というのは面白くない。
↑の問題、０回でできたました。
0377１３２人目の素数さん
2006/03/12(日) 16:57:11０回ですね！
仮に１０cmとした直線ＡＢをとる。次はＡＢから３０°程開いた１０cmの直線ＡＣを
とる。これで丁度Ｖの字型となる、そして三角形ＡＢＣは二等辺三角形になる。
次ＢＣの中点ＤをとりＡＤを延長して通る直線ＡＦを引く。ＤからＡ方向にＢＤと同じ長さを
とってＥとし、ＤからＦ方向にＢＤと同じ長さをとってＧとする。ＥＢＧＣは正方形となったでしょ！
0378１３２人目の素数さん
2006/03/12(日) 17:18:21＞ＢＣの中点Ｄをとり
＞ＢＤと同じ長さをとって
＞ＤからＦ方向にＢＤと同じ長さをとって
0379１３２人目の素数さん
2006/03/12(日) 17:35:46ttp://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bfta4nbba83x&sid=1835554&mid=1&type=date&first=1
の340あたりから
作図可能な図形はコンパス1回だけで作図可能
ということの証明が書かれているっぽい
んだけどわかりにくい
0380１３２人目の素数さん
2006/03/12(日) 21:25:07すべてのｎにいついてun+1->unにシフトさせる行列をＳとする、u1->unにする。
uのmod2をとる操作をＭとする
ＡをAu=.5(E+M)Su-.5(E+M)u とする
かならずA^mu=u0=(10)になるか？ mはuによる
0381１３２人目の素数さん
2006/03/12(日) 23:18:32ネズミが一匹、無限の広さをもつ碁盤の上に居る。
プレーヤーは一ターンの間にネズミの居ない任意の座標にブロックを一つおくことができる。
ネズミは一ターンの間に上下左右のいずれかの方向に一歩動くことができる。
ただし、ブロックのある座標には移動できない。
ネズミの四方がブロックで囲まれ、一歩も動けない状態になればプレーヤーの勝ち。
ネズミがいつまでも逃げることができればネズミの勝ち。
このゲームはどちらが勝つか。
0382１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 00:06:10どっちが先攻？
0383382
2006/03/13(月) 00:07:020384１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 00:09:410385１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 00:13:40面白そうな問題やね。
ちょっと試してみるとどうやってもプレイヤーが勝ちそう。
もしプレイヤーに必勝法があるなら、最初の何個かをどんなに適当に置いても
途中から必勝法を適用できるのは明らかだから、置き間違えるということが
けっして無いのね。
0386１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 00:15:120387385
2006/03/13(月) 00:17:430388１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 00:22:57碁は知ってる？
シチョウってのがあるんだけど、境界がなきゃその形でどんどん伸びて
いけそうな気がする。
0389１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 00:24:400390385
2006/03/13(月) 00:28:05シチョウで無限に伸びていけるというのが確かなら、
それがこの問題に適用できるかどうかやね。
ちょっと調べてみるか。
0391１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 00:39:080392１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 00:44:390393385
2006/03/13(月) 00:45:54いろいろ試したけど、ネズミのマスの隣りじゃなくて
斜め隣りのマスか1個離して打っていけば囲めるみたい。
証明できないけど。
0394Sean ◆t.0oQdlc8Y
2006/03/13(月) 00:46:15でもよくわかんない。よって、実際に勝負して決めよう
●＝プレーヤーのブロック、○＝ネズミ
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
ー＋ー＋ー＋ー＋ー●ー○ー＋ー＋ー＋ー＋ー
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー＋ー
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
さぁ、かかってこい（どーん）
0395Sean ◆t.0oQdlc8Y
2006/03/13(月) 00:48:31もう、試合放棄（早
0396385
2006/03/13(月) 00:53:410397１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 01:05:41だから、それで普通にシチョウになるでしょ。待ち伏せの石打ったら、
その瞬間に方向転換されちゃうよ。
0398Sean ◆t.0oQdlc8Y
2006/03/13(月) 01:06:26囲碁全国レベルの友達に聞いてみるから、
皆さんは安心して寝てください。
0399Sean ◆t.0oQdlc8Y
2006/03/13(月) 01:08:20無駄レス失礼
0401１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 01:33:31ずばりプレイヤーの勝ち。
シチョウ云々より、はじめから遠巻きにネズミを追い込んでいけば勝てるはず。
ただ、最短何手で詰みになるのかはこりゃまったくわからん
0402１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 01:38:17囲碁よりも連珠やってる人のほうがまだ信用できるようなｗ
0403１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 01:41:00プレイヤーがシチョウに取るなんてことは神業だと思う。
というかﾑﾘだとｗ
0404１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 01:44:44碁はよく知らないんだが、斜めに待ち伏せるのが効果的っぽい。
☆鼠
●石
1置く 2逃げる 3置く 4逃げる
┼┼┼┼┼/┼┼┼┼┼/┼┼┼┼┼/┼┼┼┼┼/
┼┼●┼┼/┼┼●┼┼/┼●┼┼┼/┼●┼┼┼/
┼┼┼☆┼/┼┼┼┼┼/┼┼┼┼┼/┼┼┼┼┼/
┼┼┼┼┼/┼┼┼☆┼/┼┼☆┼┼/┼☆┼┼┼/
┼┼┼┼┼/┼┼┼┼┼/┼┼┼●┼/┼┼┼●┼/
┼┼┼┼┼/┼┼┼┼┼/┼┼┼┼┼/┼┼┼┼┼/
5置く 6逃げる 7置く
┼┼┼┼┼┼/┼┼┼┼┼┼/┼┼┼┼┼┼/
┼┼●┼┼┼/┼┼●┼┼┼/┼┼●┼┼┼/
┼┼┼┼┼┼/┼┼┼┼┼┼/┼┼┼┼┼┼/
┼┼☆┼┼┼/┼☆┼┼┼┼/●☆┼┼┼┼/
┼●┼┼●┼/┼●┼┼●┼/┼●┼┼●┼/
┼┼┼┼┼┼/┼┼┼┼┼┼/┼┼┼┼┼┼/
0405385
2006/03/13(月) 01:53:19┼○┼┼┼ ってことがわかった。
┼┼●┼┼
┼●┼┼┼ 左に打って、
●○┼┼┼
┼┼●┼┼
┼●┼┼┼ どっちに逃げても同じだから
●┼○┼┼ 右に逃げるとして、
┼┼●┼┼
┼●┼●┼ 右上に打って、
●┼○┼┼
┼┼●┼┼
┼●┼●┼ 上に逃げても塞がれるだけだから
●┼┼○┼ 右に逃げるとして、
┼┼●┼┼
┼●┼●┼ 右に打って、
●┼┼○●
┼┼●┼┼
┼●┼●┼ って感じで結局こうなって、
●┼┼┼● もはや逃げられず。
┼┼●┼┼
●○┼┼●
┼●┼●┼
というわけで最初の図の状態にもっていければオッケーかな？
0406１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 01:56:040407１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 02:09:120408385
2006/03/13(月) 02:18:28┼┼┼┼ ネズミが右に逃げると、
●┼○● こう打つことができ、
┼┼┼┼ 上か下に逃げなければならない。
●┼┼┼ だから最初から
┼○┼┼ こう逃げるとしてもよい。
●┼┼┼ こう打つ。
┼○┼┼ ここで左に逃げると>>405の最初の図でダメ。
┼●┼┼ 上に逃げた場合はそのすぐ上に打って（省略）。
●┼┼┼ 右に逃げたらその右に打ち、
┼┼○● この後上に逃げ、そのすぐ上に打つ。
┼●┼┼
てな感じで、必ず>>405の最初の図になるね。
これで一応証明終わり。
思ったよりあっさりしてるかな。
えっと、合ってるよね？
>>407
うん。
0409385
2006/03/13(月) 02:35:32>>405の必勝形は、図にあるブロック以外に
どこにいくらブロックがあってもけっして
プレイヤー側の邪魔にはならないということを
暗黙に用いてます。
0410１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 02:36:520412１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 02:56:520413１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 09:30:000414１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 11:45:14それが最短だと思います
0415１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 17:24:140416１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 20:37:47この内部及び辺上に点をn^2+1個とる。
このとき、少なくとも一組、二点間の距離が1以下になるような点の組が存在することを示せ。
面白くも難しくもない・・・orz
0417381
2006/03/13(月) 20:49:42いつもながらこのスレのクオリティの高さには驚かされます。
0418１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 21:04:500420Sean ◆t.0oQdlc8Y
2006/03/13(月) 21:22:01じゃあ、新しい問題を。
1,2,3,5,7,11,15,22,30‥‥‥
さて、この数列は一体どんなものでしょう。
これ出来たら天才だ。間違いなく。
知ってる人もいるかもしれないが・・・
普通の数列として考えたら出来ません。死にます。
だからといって、なぞなぞではありません。
ちゃんと数学に関係する数列ではあるんだけど・・・
まぁ、思いついても確かめるのが面倒です（これはヒントになるかな?）。
0421１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 21:31:29聴きたい…
0422１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 21:35:52この数列を[a_n]としたときに
一般項a_nがｎの(9次以上の)多項式で表されるとかいうんじゃないだろうな
0423１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 21:53:13どこかで見たことあるような気がするんだが…
思い出せん。
0424１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 22:32:05合図があると、各人は一斉に自分の前のカードの中から、もしそれが偶数枚だったらその半分の
カードを、奇数枚の時は１つ足してその半分の枚数のカードを、右側の人に渡す。
このカードの移動を繰り返すと、いつかみんなの前にはちょうど10枚ずつのカードが置かれている
状態になることを証明せよ。
0425１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 22:48:38ttp://www.research.att.com/~njas/sequences/
0426Sean ◆t.0oQdlc8Y
2006/03/13(月) 22:52:24そう、「素数の音楽」からの問題です。
素数は関係ないけどね。
>>424
どっかで・・てか多分この数学版のどこかで見た気がする・・
だが残念ながら、余白が足りないためここにその証明を記す事は出来ない。
0427１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 01:30:5310人のカードの枚数が全て同じではないとし、
その中の最大値をMとする。
もしMが偶数でM枚のカードを持つどの人についても
左隣の人がM枚またはM-1枚のカードを持っているとすると、
M-1枚のカードを持っている人の中に
その左隣の人のカードがM-2枚以下であるような人がいる。
この場合、カードの交換を行なうと、
M枚のカードを持つ人の人数は変わらず、
M-1枚のカードを持つ人の数が減る。
またそうでない場合、M枚のカードを持つ人の数が減る。
このことから、カードの交換を繰り返すと
全員の枚数が同じになるといえる。
0428１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 02:55:29tan1ﾟは有理数か？
0429１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 02:59:43ネズミがブロックを押せるとしたらどうかな。
1個しか押せない場合と、2個以上でも押せる場合が考えられるけど。
0430１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 03:00:56と思ったけど2個以上押せるとしたら囲まれても押せるじゃん。
0431１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 06:20:58さらに、1匹を踏み台にしてもう1匹がブロックを越えられるようにしたりとか
バリエーションいろいろ考えられるな…
0432１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 06:27:236個あれば十分だ>>381
意外に少なくて済むな
0433１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 10:18:44>もしMが偶数でM枚のカードを持つどの人についても
>左隣の人がM枚またはM-1枚のカードを持っているとすると、
>M-1枚のカードを持っている人の中に
>その左隣の人のカードがM-2枚以下であるような人がいる。
>この場合、カードの交換を行なうと、
>M枚のカードを持つ人の人数は変わらず、
>M-1枚のカードを持つ人の数が減る。
例えば・・・,10,10,7,11,12,10,10・・・のときは？
>>428
帰納法使って有理数とするとtan60°が有理数になるから矛盾で終わりじゃん。
こんな簡単な問題出すなよ京大・・・OTL
0435１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 11:42:31その必要はないだろｗ
tanの加法定理の証明をやってみれば分かるが、tan(a＋b)°＝{tana°＋tanb°}/{1－tana°tanb°}が
成り立つ必要十分条件は、a≠90(2k－1)かつb≠90(2k－1)かつa＋b≠90(2k－1)…＊ となる。
これは、「tanx°」が有理数か否かとは関係なく、tanの中身の「x」のみによって定まる。だから、tan1°を
有理数と仮定しようがしまいが、それでtanの加法定理が使えなくなることは無い。で、じゃあ＊の証明を書く
必要はあるかと言うと、そんなのは学校で習ったと見なしてよいはず。
0436中川醜態
2006/03/14(火) 12:18:55＞tan(a＋b)°＝{tana°＋tanb°}/{1－tana°tanb°}が
＞成り立つ必要十分条件は、a≠90(2k－1)かつb≠90(2k－1)かつa＋b≠90(2k－1)
±∞とその「性質」さえ導入すれば、いいだけでしょ。
そうすれば、加法定理は常に成立する。
0437１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 12:33:25±∞の性質を加えても「∞－∞」の計算はできない。よって、∞を導入しても
0＝tan(90－90)＝(∞－∞)/(1＋∞)＝不定 となって駄目。
0438１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 13:24:57むちゃくちゃ言うな
0439１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 14:08:200440１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 21:39:30数学的帰納法だから、aとbはそれぞれ 1とk (ｋは自然数）に置き換える
そしたら、k<30で、0<tan1°≦tan k°＜tan30°=1/√3なんだから、
0<tan１°tank°＜1/3で、分母の 1- tan1°tank°は０にはならん。
0441427
2006/03/14(火) 21:44:38全然証明できてなかった・・・or2
9,11,10,10,10,10,10,10,10,10から始めると8回までは11がずれていくだけで
枚数の組合せは変わらないことに気付いた。
むずいな・・・
0442１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 21:45:550443Sean ◆t.0oQdlc8Y
2006/03/14(火) 22:23:4010人が持っているカードの枚数の最大値をM,最小値をmとする。
ここで、M≧10、ｍ≦10であることが言える。
また、M枚のカードを持っている人が一人だとすると、
次の交換で必ずMは減少する。また、M枚のカードを持っている人が
N人（N≠10）で、その人たちがL人（2≦L≦N）連続している場合、
L回の交換でMは減少する。
同様にして、ｍは増加する。
よって、全員が10枚にならない限り、カードの枚数は変動し続けるので、
最終的に全員が10枚のカードを持つことになる。
・・・で、いいでしょうか。かなり不十分な気がしまくり・・・
0444１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 22:30:38> 次の交換で必ずMは減少する。
これがそもそも間違いだとさんざん指摘されているのだが。
0445１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 22:31:01M=12で並びの一部分が11,12,12のときは
L回じゃ減少しなくない？
0446１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 22:31:28(11+1)/2 = 6 枚やってくる。
自分が隣に渡す枚数も６枚だから、
必ずしも M は減少しないね。
0447１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 22:40:08てか、これってどっかの試験問題じゃなかった？
2chの頭脳をもってしても数日解けない問題って・・・
0448Sean ◆t.0oQdlc8Y
2006/03/14(火) 22:48:18ちょっと概念的に考えすぎていました。
でも、もし10枚ずつ全員が持つ以外に
その枚数の状態がずっと続くような組み合わせがなければ
背理法でいつかは全員10枚になると思うのだが・・・?
そしたら・・・だめ、こんがらかってきた。
てかもう考えるのがメンド（ry
0449１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 23:36:26A^nu=.5^r(-1)^rnCr(E+M)^r(S-E)^r
=.5^r(-1)^r(2^rE+nCr(2^r-1)M)(S-E)^r
=(E+.5nCrM)(rCkS^k(-1)^2r-k)
0450１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 00:08:32ある段階でi番目にある枚数を a_i とする。
Σ(a_i-10)^2
が一度の操作によって必ず減少することを示せばよい。
<x> で x の ceiling, [x] で x の floor を表すとする。
一度操作を実行すると、i 番目の枚数は
[a_i] + <a_{i-1}>
になる。なので、
Σ(a_i-10)^2 - Σ( [a_i]+<a_{i-1}>-10 )^2 > 0 (*)
を示せばよい。
a_i = [a_i] + <a_i>
を用いて計算すれば (*) は
2Σ([a_i]<a_i>-[a_i]<a_{i-1}>)
に簡略化できる。
これって全ての i で a_i=10 になってないときは >0 だと思うんだけど
あってるかな？
0451１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 00:20:47は以下を使う。
【補題】
二つの数列
x_1≦x_2≦...≦x_n
y_1≦y_2≦...≦y_n
が与えられたときに、数列
z_1,z_2,...z_n
を y_i を任意にに並べ替えた数列とする。このとき
Σx_i y_i ≧Σx_i z_i
が成立。
等号は y_i = z_i のとき。
今の場合、
x_i = [a_i]
y_i = <a_i>
z_i = <a_{i-1}>
と置けばよい。
y_i = z_i となるのは 各 a_i が全て同じ値10をとるときのみ。
0452１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 00:29:22説明下手糞でごめん。
補題が言っているのは、二つの数列を掛け合わせるときは、
大きいもの同士を掛け合わせるのが一番良い、
ということで、数列
[a_1], ..., [a_n]
<a_1>, ..., <a_n>
の場合、
[a_i] が大きければ <a_i> も大きくなるので
Σx_i y_i
が最大の組合せになる。ということです。
0453１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 00:37:521/2 忘れてる
[a/2], <a/2> とか書かないと
b = floor((a-10)/2), c = ceil((a-10)/2)
とかを定義したほうがすっきりする
ほかはいいんじゃ？
0454１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 00:43:29指摘ありがと
0455１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 00:45:000456１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 00:54:03あ、a_i≠a_j でも [a_i]=[a_j] だったり <a_i>=<a_j> だったりするから
駄目なのか…
0457１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 01:26:561人だけが石を100個持ってる状態から始めてる。渡す石の個数は[(手持ちの石)/2]に
なっていて、ちょっと違ってる。これの解説は2002年1月号に載ってた。
0458１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 02:26:00でかした。
君は英雄だ、最大の功績だ！
0459１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 02:46:450460UnitedNiceKindOptional of Tama Kinng ◆gXS.bDGPDU
2006/03/15(水) 04:33:570461１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 05:30:00もう片方の半分の切り上げの和を作ってるから同じ。
0462１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 08:57:01＞なっていて、ちょっと違ってる。
それは反対回りにして一個ずらすだけだから
本質的な違いとは言えないのでは
初期状態が違うのも多分それほど本質的ではなかったと思う
0463１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 11:23:19大学への数学の解答見てみた。うん、反対回りになってるだけだったｗ
でも、初期状態の違いについてはどうかな。解答を見る限りでは、どの解答も
初期状態(初めは1人だけが100個持っている)の条件をフルに使ってたから、
>>424には使えない気ガス。
0464１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 14:58:07カードの数の最大値を M (>10) とし、M 枚持っている人の数を N とする。
持っているカードの枚数が、左から見て、
i) M が偶数のとき、
M-1,M-1,...,M-1 (0 人以上),M,M,...,M (1 人以上)
ii) M が奇数のとき、
M,M,...,M(1 人以上),M-1,M-1,...,M-1 (0 人以上)
であるような極大な弧の長さの総和を l とする。
このとき、カードを交換すると、M が減少するか、
M は変化せず N が減少するか、M, N は変化せず l が減少する。
0465１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 17:35:53おぉ、確かにそうなる。
M>10のときM-2枚以下の人がいることを使ってるよね。
その証明で人数やカードの枚数によらず
交換を繰り返せば必ずカードの枚数は全部同じか連続2整数になる
ということが示せるな。
0466１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 19:36:44A,Bのゴール点をa,bとしてAの勝率をP(a,b)で表すと、a,b≧1のとき
P(a,b)=(1/36)Σ[0≦i,j≦5]P(a-i,b-j)
即ち P(a,b)=(1/35)Σ[0≦i,j≦5, not(i=j=0)]P(a-i,b-j)
ただし a≦0のときP(a,b)=1, a≧1,b≦0のときP(a,b)=0
よってP(a,b)の分母は奇数になり、1/2にはならない。
0467１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 22:03:00これは面白くなってきたのか絶望的になったのか・・・
0469１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 22:19:260470１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 22:27:10>>464で解けてるんじゃないの？
0471１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 22:32:5910,10,20->10,15,15->13,15,12->14,13,13->14,13,13
10,10,10,20->10,10,15,15->10,13,15,12->12,14,13,11->13,14,12,11->13,13,12,12->13,12,12,13
0472１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 22:47:30(e+e)/2=(an+an+1)/2
(e/2+(o+1)/2)=(an/2+((an+1)+1)/2)=(an+an+1)/2+1/2
(o-(o+1)/2+e/2)=an-(an+1)/2+(an+1)/2=an/2+(an+1)/2-1/2=(an+an+1)/2-1/2
(o-(o+1)/2+(o+1)/2)=an-(an+1)/2+(an+1+1)/2=an/2+(an+1)/2=(an+an+1)/2
移動平均で+/-1/2だから何回かやれば平均値の+/-1になる
100で10人だから移動平均で10になってしまうだけ
0473１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 22:59:18しかしそれは証明にはなってない
0474１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 23:06:12これは宇宙の摂理だ
0475１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 23:08:07誤差を集めると偏りが生じる可能性があるから駄目。宇宙の摂理はむしろ
「塵も積もれば山となる」だと思うぞ。
0476１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 23:09:470477１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 23:16:3710,11,10->11,10,10で11は左に動く
10,9,11,10->10,10,10,10で９と１０はアニヒレートする
だから平均+/-１の配列はすべて１０になる。。。とか？
0478１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 23:19:37循環するか・・・収束するか・・・
0479１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 23:25:07手持ちカードが偶数なら半分を捨てる
奇数なら場から2倍のカードをひろい、さらに1枚ひろう
この操作を無限回くりかえすと手持ちカードの数は１になる
0480１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 23:29:10>>464
0481１３２人目の素数さん
2006/03/15(水) 23:58:350482１３２人目の素数さん
2006/03/16(木) 00:17:361辺が√3の正三角形。
三角形PQRの頂点Pが六角形の辺AB上にあれば、
三角形の面積を減少させずにPをAまたはBに移動できる。
よって三角形の頂点は六角形の頂点にあると考えてよい。
0483１３２人目の素数さん
2006/03/16(木) 00:19:31QRとABが平行じゃないと無理じゃね？
0484１３２人目の素数さん
2006/03/16(木) 00:21:410485１３２人目の素数さん
2006/03/16(木) 02:07:41・1辺が1の正三角形は、1辺がL＜1の正三角形2つで覆い尽くすことが出来ないことを示せ。
・半径が1の円は、半径がr＜1の円2つで覆い尽くすことが出来ないことを示せ。
・a≧3，b≧1とする。正ab角形に覆い尽くされるa角形の面積が最大になるような、a角形の形を求めよ。
・xy平面上の全ての格子点に、白と黒の色をつけていく。このとき、ある4つの格子点について、その4点は
全て同じ色であり、しかもその4点を頂点とする四角形が正方形になっているものが存在することを示せ。
最後の問題は’長方形’にすると簡単なんだけど、正方形に変えてみたら解けなかった(もしかしたら存在しないかも)。
0486１３２人目の素数さん
2006/03/16(木) 03:52:531問目
1辺がL＜1の正三角形は1辺が1の正三角形の頂点を1つしか覆えないので不可能。
2問目
半径がr＜1の円と半径が1の円周の交わりは180°未満の円弧になるので不可能。
3問目
>>482と同様にa角形の頂点は正ab角形の頂点にあるとしてよい。
a角形の連続する3頂点P,Q,Rについて、P,QおよびQ,Rの間にある正ab角形の頂点の数が
等しいか差が1のときに三角形PQRは最大となることから、最大のa角形の形は正a角形。
4問目
縦3×横9の領域において、縦3つの白黒の組合せは8通りだから同じ組合せの縦列がある。
各縦列に白か黒のいずれかは2つあるから、それら2組が長方形を成す。
正方形については今のところ分からない。
0487１３２人目の素数さん
2006/03/16(木) 14:52:45次の条件のもと、同色で塗られた2点で、距離が1であるものが必ず存在するのはどれか(答えは1つとは限らない)。
(0)xy平面上の全ての点を、1種類の色で塗る。
(1)xy平面上の全ての点を、2種類の色で塗る。
(2)xy平面上の全ての点を、3種類の色で塗る。
0488１３２人目の素数さん
2006/03/16(木) 23:26:08答え：(0),(1),(2)
3色で塗って同色の点の距離が1にならないように塗るとすれば、
PR=√3,QS=1のひし形PQRSにおいてPとRは同色になる。
P,RはPR=√3を満たす任意の点である。
よってPR=PT=√3,RT=1なる3点P,R,Tを考えればR,Tは同色。
したがって条件を満たすように塗るのは不可能。
0489１３２人目の素数さん
2006/03/16(木) 23:58:364色の場合は難しいな…。
いわゆる4色問題と関係あるんだろうか。無いよな。
>>485の2問目の拡張で
n個の半径1の円で覆える最大の円の半径f(n)を求めよ
という問題を考えたんだが、n=5ぐらいになるとややこしすぎ。
f(1)=1
f(2)=1
f(3)=(2√3)/3
f(4)=√2
だと思ふ。
0490１３２人目の素数さん
2006/03/18(土) 12:18:19とりあえずf(n)≦√nだな。でも正確なf(n)の値は求められないと思う。
0491１３２人目の素数さん
2006/03/18(土) 17:11:24nが大きくなると、1つの円で1辺1の正六角形を覆うことになると思うので
f(n)≦√{(3√3)n/2π}が成り立つかも。
>>487の4色の場合
1辺の長さがaの正五角形の頂点のうち少なくとも2つは同色。
よって、距離がaまたは{(1+√5)/2}aである同色の2点が存在する。
a=1とすると、距離が1または(1+√5)/2である同色の2点が存在する。
a=(-1+√5)/2とすると、距離が(-1+√5)/2または1である同色の2点が存在する。
よって、距離が1である同色の2点が存在しないと仮定すると、
距離が(1+√5)/2および(-1+√5)/2である同色の2点がそれぞれ存在する。
なんか惜しいんだが、この考え方ではこれ以上無理かもしれない。
0492愚問だったらｽﾏｿ
2006/03/20(月) 11:33:56定規とコンパスのみが与えられている。
問(1)
正n角形（nは3以上の自然数）が、定規とコンパスのみで
作図可能であるための必要十分条件は何か。
問(2)
作図可能な正n角形について、その正n角形を作図するために
必要なコンパスの最低使用回数をgとする。この時、nを変数として
gを求めることができるような公式は存在するか。
0493１３２人目の素数さん
2006/03/20(月) 13:04:22問い2は答え出たけど証明できんｗ
のでここには書かない（メール欄に）。
面白いけどかなりの難問だと思う。
0494１３２人目の素数さん
2006/03/20(月) 13:22:17それが答えなら、基本路線は背理法で決定だな。
0495Geek ◆8MQVxjnUkg
2006/03/20(月) 15:57:05を展開せよ。
0496１３２人目の素数さん
2006/03/20(月) 16:05:08がいしゅつ
0497Geek ◆8MQVxjnUkg
2006/03/20(月) 16:41:16じゃああの本のはほとんど出てしまってるのか・・・?
つまんね。
0498１３２人目の素数さん
2006/03/20(月) 23:44:42ググって手掛かりは掴めたんだが証明がさっぱり分からん(´･ω･`)
ttp://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/pdffiles/kumamoto04.pdf
ttp://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/drawing/heptadecagon.html
ttp://www.hamaint.co.jp/math/math_th_compas.html
>>493は多分正解だがやはり証明が？
＞因みに, G. Mohr と L. Mascheroni に拠れば, 定規とコンパスで作図できる図形は
＞すべてコンパスだけで作図できる (但し実際に直線を引くことは断念する)。
＞又 J.-V. Poncelet と Steiner に拠れば, 定規とコンパスで作図できる図形は,
＞最初に一つの円とその中心とが与えられてあれば定規だけで作図できる
＞(但し実際に円を描くことは断念する)。
>>20の答えが「１回」なのも納得。
0499Geek ◆8MQVxjnUkg
2006/03/20(月) 23:52:00対戦する二人は、紙の上に、１００より小さい数を交互に書いていく。
相手に、書かれた数の中に、和が等しい二組の部分集合を見つけられたら負けとなる。
例えば、六回目が終わって19,2,27,39,5,11と出ていたら、11を書いたほうでないプレイヤーに
抜かりがなかったら、19+27＝2+39+5を見つけて勝者となるだろう。
実は、このゲームは10回より多くやる必要がない。というのは、
100より小さい10個の数字が与えられれば、その中に和が等しい
二つの部分集合があるからである。
このことを証明せよ。
0500１３２人目の素数さん
2006/03/21(火) 00:18:37100より小さい数というのは1以上99以下の整数という意味でいい？
同じ数字は書いちゃいけないんだよね？
そうだとすると、
10個の数があるとき、それらの部分集合の和は0以上945以下だが、
部分集合の取り方は1024通りだから、同じ値になるものがある。
ってことでOKかな。
0501１３２人目の素数さん
2006/03/21(火) 00:23:53ぐわっ，先を越された・・・
というわけで鳩の巣原理
0502１３２人目の素数さん
2006/03/21(火) 00:49:22作図の中で定規とコンパスの役割は何かと考えると、
定規・・・ある2つの点を結ぶ直線を引く
コンパス・・・ある点を中心としてある点を通る円を描く
ってことだよね。
で、円とその中心が最初に与えられているとして、
定規だけで作図すると円は描けないけど、円と直線の交点、円と円の交点となる点が
作図できたとしたら、定規とコンパスで作図できる図形（但し実際に円を描くことは断念）を
作図できたことになるわけだ。
具体的には、円と直線の交点というのは、直線lと点O,Pがあるとき、もしコンパスが使えれば
Oを中心としてOPを半径とする円を描いて直線lと交わってできる点なわけだけど、
その交点を、定規だけで作図できるってことだね。
円と円の交点は、点O,P,O',P'があるとき、中心O半径OPの円と中心O'半径O'P'の円の交点が
もしあればその交点が定規だけで作図できる。
これら2つのことが証明できればいいはず。
具体的な作図の手順も示せればいいんだけど。
0503１３２人目の素数さん
2006/03/21(火) 21:36:43AB=√2,AC=BC=1の直角二等辺三角形ABCの頂点A,Bにそれぞれ動点P,Qがある。
P,Qはそれぞれ、辺上を速さ1で一定方向に進むが、
頂点に来るたびに（出発時も）1/2の確率で他のどちらの頂点に進むかを決める。
いま同時にP,Qが出発したとき、PとQが出会うまでの時間の期待値はいくらか。
0504503
2006/03/24(金) 22:34:521億回シミュレーションした結果、
P,Qの移動距離の合計=82202430+85429954√2
この1/2倍が所要時間で、それを1億で割れば平均時間。
よって求める値の近似値は0.41101215+0.42714977√2=1.0150931…
多分有効数字3桁ぐらいなので、1.01から1.02の間と予想。
これは数学的に解くのはかなり難しいと思うので、誰か面白い問題おねがい。
0505１３２人目の素数さん
2006/03/25(土) 03:01:14出発の直後
1/4の確率でお互い相手のほうに向かう→1/2秒後に出会う
1/4の確率でお互い第三の点に向かう→1秒後に出会う
1/2の確率で行き違いになる→1秒後に初期状態になる
よって期待値ｘ＝1/8 + 1/4 + （1+ｘ）/2
∴ｘ＝7/4
>503の設定だと行き違いになったときに初期状態にきれいに戻らないのが難しくなる原因だけど､
>504を信用するとそれによって期待値が0.7秒も短くなっている。
これを直感的に言うと「長さが不ぞろいな方が出会いやすい」という事になるわけだが
頭の中でいくらイメージしても全然ピンと来ない…。
0506503
2006/03/25(土) 05:31:51正しくは↓
1億回シミュレーションした結果、
P,Qの移動距離の合計=263702706+143253424√2
この1/2倍が所要時間で、それを1億で割れば平均時間。
よって求める値の近似値は1.31851353+0.71626712√2=2.3314682…
多分有効数字3桁ぐらいなので、2.33から2.34の間と予想。
もし最初1/2の確率で行き違いになった場合は最短で出会うように移動する
として計算すると、
時間の期待値は(6+3√2)/8=1.28…
となって、問題の答えはこの値を超えるはずだと分かる。
しかしこんな計算をしなくても1.015ってのは小さすぎると気付くべきだった…。
どうでもいいけどミスの内容を説明。
言語はC++で、
sum1+=p1+q1+((pp+qp==1)?0:1);
sum2+=p2+q2+((pp+qp==1)?1:0);
と書くべきところを
sum1+=p1+q1+(pp+qp==1)?0:1;
sum2+=p2+q2+(pp+qp==1)?1:0;
と書くという痛いミス。演算の優先順位を考えてなかった。
sum1+=p1+q1+(pp+qp!=1);
sum2+=p2+q2+(pp+qp==1);
でもよかったけど。
ちなみにsum1,sum2はP,Qの合計移動距離sum1+sum2*√2の係数、
p1,p2,q1,q2はP,Qそれぞれの移動距離p1+p2*√2, q1+q2*√2の係数、
pp,qpはP,Qがそれぞれ最後にいた頂点を0,1,2(=A,B,C)で表す。
0507503
2006/03/25(土) 06:07:58>>503はこれより辺が短いのに、実験では期待値が2より大きくなっている。
>>505の言い方を借りると、「長さが不ぞろいな方が出会いにくい」ということに。
これは直観的に納得…かな。
0508１３２人目の素数さん
2006/03/25(土) 14:33:16長さ、３，４，５の直角三角形の場合どうなるの？
長さ４の正三角形だと７秒になるけど、これが、
周長が１２の三角形で最短時間ってことか？
じゃ、最長時間は（６，６，０）の極限？
0509１３２人目の素数さん
2006/03/25(土) 14:34:51劣等民族を日本列島から追放しよう！
大日本帝国万歳！
0510１３２人目の素数さん
2006/03/25(土) 20:42:420511１３２人目の素数さん
2006/03/26(日) 01:17:50＞長さ、３，４，５の直角三角形の場合どうなるの？
シミュレーションの結果、
(AB,AC,BC) (平均時間) (平均時間/3辺の和)
(3,4,5) → 9.82603, 0.818836
(4,3,5) → 8.53254, 0.711045
(5,3,4) → 9.96872, 0.830727
と出た（ACとBCは入れ替え可）。
辺の長さが整数で合計12の三角形全てについて調べると、
(5,3,4)が0.830727で最大、(6,3,3)が0.5で最小という結果。
＞じゃ、最長時間は（６，６，０）の極限？
(1,10000,10000)→0.606198(平均時間/3辺の和)
(10000,1,10000)→0.749505
と出た。
様々な辺の長さの組合せについて、(平均時間/3辺の和)を調べてみると、
(n,n,n±1)でn→∞の極限が約0.834で、これが上限っぽい。
最小は(2,1,1)の1/2と思う。これは簡単に証明できそう。
ちなみに(14142,10000,10000)は平均時間23253.1と出た。
>>506の結果に近い。
0512１３２人目の素数さん
2006/03/26(日) 01:30:07試行回数は1億回もやると時間がかかりすぎて様々なパターンを調べられないので、
全て100万回ずつにした。
>>506より精度が低く、おそらく有効数字2桁強。3桁目は±2程度の誤差がある模様。
0513１３２人目の素数さん
2006/03/26(日) 12:39:52そっか、(2,1,1)が最短でしたね。こっちは面白くないから、
やっぱり最長時間のほうが面白そう。
しかし、どう理解したらいいんだろう。
0514１３２人目の素数さん
2006/03/26(日) 13:56:45x軸の周りに一回転させる。
この時できる立体群の体積のうち、x＝（n－1）πとx＝nπ【n=１、２、・・・・・】
の間の立体の体積をＶ（ｎ）とする。
（１）Ｖ（１）を求めよ。
（２）Ｖ（ｎ）を求めよ。
（３）ｌim【n→∞】ΣＶ（k）［k＝１→k＝n］を求めよ。
高校生スレッドからコピペしてきた。
たった今香具師が最初の答えを出してきた所だ。
喪前らもやって見ろｗ
0515１３２人目の素数さん
2006/03/26(日) 14:44:11くだらない問題をいろんなところにコピペしすぎ。
0516511
2006/03/26(日) 20:27:38(平均時間/3辺の和)の値の上限と思われる0.833…に近い値になるための条件は、
3辺の長さが十分近い値で、AC≠BCかつAB≠(AC+BC)/2
ということが分かった。
例えば
(AB,AC,BC) (平均時間/3辺の和)
(10000,9998,9999) 0.833172
(10000,9998,10001) 0.833103
(10000,9999,9999) 0.678253
(10000,9999,10000) 0.833093
(10000,9999,10001) 0.760502
(10000,9999,10002) 0.832595
(10000,10000,10001) 0.833893
(10000,10001,10001) 0.677136
(10000,10001,10002) 0.832306
というような結果が出ている。
もちろん他のいろいろな値についても検証を行なった。
AC≠BCが必要というのは分かりやすいが、他の条件はどう解釈すべきだろう。
0517１３２人目の素数さん
2006/03/26(日) 20:31:480518１３２人目の素数さん
2006/03/27(月) 00:57:51二角形バージョン、つまりCが無くてA,B間に2本の道がある場合も実験してみた。
(1,1)=3/4 が最大の可能性があり、(1,2)=25/42 が最小っぽい。
(10000,10001)などもほぼ0.75になったが、3/4より大きいか小さいかは不明。
(10000,19999)=0.743002
(10000,20001)=0.723660
のようになったので、(1,2)は少しずれると値が大きくなることが分かる。
(1,2)の値は中途半端な小数が出たので正確な計算をしてみたところ、
思ったよりは計算が面倒だと分かった。
三角形バージョンの(3,1,1)なんか計算してみると良い計算練習になるよ。
0519１３２人目の素数さん
2006/03/27(月) 03:14:080520１３２人目の素数さん
2006/03/27(月) 05:26:180521１３２人目の素数さん
2006/03/27(月) 08:26:02実験したところ、特に素数だからといって変わったことは起こらなかった。
例えば双子素数10007,10009と10000について
(10000,10007,10009)=0.833207
(10007,10000,10009)=0.833260
(10009,10000,10007)=0.833360
（1億回の試行の結果。有効数字はおそらく3桁）
のようになった。
0522１３２人目の素数さん
2006/03/27(月) 10:12:15k番目の山にはマッチ棒がAk個(1<=k<=n, Ak>0)ある。
ここで、2人で交互に、好きな山から好きな本数だけ
マッチ棒を取るゲームを行う。ただし、1回の手番で
複数の山から同時にマッチ棒を取ることはできない。
(1) 最後の1本を取った方が勝ちとする。
後手必勝となるようなA1, ..., Anの条件を求めよ。
(2) 最後の1本を取った方が負けとする。
後手必勝となるようなA1, ..., Anの条件を求めよ。
0523522
2006/03/27(月) 10:15:57パス(自分の手番で0本取る)は不可。
必ず1本以上取らないといけない。
0524１３２人目の素数さん
2006/03/27(月) 11:42:42S[0](x)＝x
S[n](x)＝n∫[0，x]{S[n－1](t)＋c}dt，c＝1/n－∫[0，1]S[n－1](y)dy (n≧1)
で定義されているとする。xが非負整数のとき、S[n](x)＝Σ[k＝0～x]k^nが成り立つことを示せ。
0525１３２人目の素数さん
2006/03/27(月) 16:50:32整数の和が正になるようにする。連続する3個の頂点に割り当てられた整数を
それぞれx,y,zとする。このときy<0ならば次の操作を行う：
3つの数x,y,zをそれぞれx+y,-y,z+yで置き換える。
n個の整数のうち少なくとも1つが負である限り上述の操作を繰り返し実行する。
有限回の操作の後、この手続きが完了するか否かを決定せよ。
0526１３２人目の素数さん
2006/03/28(火) 00:34:292つの自然数x,yを被演算子とする2項演算x#yを次のように定める：
x,yを2進数で表したときの2^kの位の数をそれぞれx_k,y_kとして
x#y=Σ[k=0,∞]|x_k-y_k|*2^k
この演算は交換法則x#y=y#xおよび結合法則(x#y)#z=x#(y#z)が成り立つ。
A1#A2#…#An≠0のときはA1#A2#…#An=0となるようにマッチ棒を取ることができるが、
A1#A2#…#An=0のときはどう取ってもA1#A2#…#An≠0となる。
これを用いて、
(1) A1#A2#…#An=0のとき後手必勝。
(2) 全ての山がマッチ棒1本でそれが奇数個あるとき、
またはマッチ棒が2本以上の山が1つ以上ありA1#A2#…#An=0のとき後手必勝。
0527１３２人目の素数さん
2006/03/28(火) 00:41:38>>424の問題に似てるな。
操作を行なうときに負の数が複数から選べるけど、どう選んでも同じ回数で終わるみたい。
0529１３２人目の素数さん
2006/03/30(木) 19:33:46操作を行なう負の数の選び方を変えても同じ回数で終わるだけでなく、
最後のパターンが同じになるようだ。
(-1),1,-2,3
1,0,(-2),2
1,(-2),2,0
(-1),2,0,0
1,1,0,(-1)
0,1,(-1),1
0,0,1,0
-1,1,(-2),3
-1,(-1),2,1
(-2),1,1,1
2,(-1),1,-1
1,1,0,(-1)
0,1,(-1),1
0,0,1,0
（括弧を付けた所が操作を施した所）
さらに、操作を行なった負の数をその場所ごとに合計していくと、どちらの場合も
-2,-2,-3,-1 で同じになっている。
いろいろ実験してみると、どうもこのことは全てのパターンについて言えるらしい。
しかし証明方法は不明。
0530１３２人目の素数さん
2006/03/31(金) 10:04:46存在して、どんな自然数kも高々m個のAの元の和で表せることを示せ。ただしA＝{an｜n∈N}とする。
0531１３２人目の素数さん
2006/03/31(金) 18:25:27x＝（n-1）π x＝nπ で区切られた部分の面積をＳ（ｎ）とする。
（1）Ｓ（１）を求めよ
（２）Ｓ（ｎ）を求めよ
（３）Σ【k＝1→k＝n】Ｓ（k）を求めよ。
（４）lim【n→∞】Σ【k＝1→k＝n】Ｓ（k）を求めよ。
0532532
2006/03/32(土) 21:16:240533１３２人目の素数さん
2006/04/03(月) 18:21:43ヒントくれ。
>>525
n=3の場合は簡単なんだけどね。
a,b,c で a+b+c＞0 のとき、
負の数が2つある場合は1回操作すると負の数が1つになるから
最初から負の数が1つ（a＜0, b＞0, c＞0）として考える。
このとき1回操作すると
-a,a+b,a+c で a+b＜0 または a+c＜0
さらに a+b＜0 の場合、もう1回操作すると
b,-a-b,2a+b+c
このとき b＞0, -a-b＞0, 2a+b+c＞a（a+b+c＞0より） であり、
2a+b+c≧0 であれば操作は終了だが、
2a+b+c＜0 の場合、最初の a,b,c と比べて、負の数が1つのままで
その値が大きくなっている。
よって操作を繰り返すといずれは負の数が無くなる。
a+c＜0 の場合も同様。
n=4の場合も同じように考えればいけそうだが、一般に拡張するのは難しそう。
0534１３２人目の素数さん
2006/04/05(水) 01:58:45a_kを除くn-1個を2つの組に分けてそれぞれの和が等しくなるようにできるならば、
a_1,a_2,…,a_nは全て等しいといえるか。
0535１３２人目の素数さん
2006/04/05(水) 04:10:000536１３２人目の素数さん
2006/04/05(水) 06:38:19簡単杉だったので訂正します。
2n+1個の実数a_1,a_2,…,a_{2n+1}があるとき、1≦k≦2n+1なる任意のkについて、
a_kを除く2n個をn個ずつ2組に分けてそれぞれの和が等しくなるようにできるならば、
a_1,a_2,…,a_{2n+1}は全て等しいといえるか。
0537１３２人目の素数さん
2006/04/05(水) 10:57:28a_1,a_2,…,a_{2n+1} はすべて自然数と仮定できる。
(R を Q 線型空間と見て、勝手な基底をとって成分を考えればよい)
明らかに、a_1,a_2,…,a_{2n+1} はすべて奇数となるかすべて偶数である。
b_k=a_k/2 (a_k が偶数のとき), (a_k+1)/2 (a_k が奇数のとき) とおくと、
b_1,b_2,…,b_{2n+1} も同じ条件を満たし、b_1+b_2+…+b_{2n+1}≦a_1+a_2+…+a_{2n+1}
となっている。この操作を続けていくと、いつかは等号が成立する。
等号が成立するのは a_1=a_2=...=a_{2n+1}=0 or 1 のときなので、これから最初の数の組がすべて等しいことがわかる。
0538１３２人目の素数さん
2006/04/05(水) 15:59:33正解。
ちなみに、Rの基底の存在を用いずに証明することもできるね。
和を積に変えると、0を3個以上含む場合は全て等しいと言えないが、
0を含まない場合は全て等しくなる。
0539１３２人目の素数さん
2006/04/05(水) 22:42:190540１３２人目の素数さん
2006/04/06(木) 00:01:570541 ◆xeS.CIM.Jk
2006/04/06(木) 01:58:110542１３２人目の素数さん
2006/04/06(木) 02:47:50原点を出発した点Pがn秒後に存在可能な点の総数をf(n)とするとき、
lim[n→∞]f(n)/(n^3)を求めよ。
0543１３２人目の素数さん
2006/04/06(木) 04:12:10n^4-19n^3-10n^2-532n+784=(n^2+3n+28)(x^2-22n+28)
0544１３２人目の素数さん
2006/04/06(木) 06:53:030545１３２人目の素数さん
2006/04/06(木) 17:02:540546１３２人目の素数さん
2006/04/06(木) 21:17:08f(n)=2*3^n+4^n+12^n-1とおくと
p≧5なる素数pについて
f(p-2)=2*3^(p-2)+4^(p-2)+12^(p-2)-1
≡2*3^(p-1)/3+4^(p-1)/4+12^(p-1)/12-1
≡2/3+1/4+1/12-1
≡0(mod p)
またf(n)はつねに奇数かつ3の倍数なので
条件を満たすのはs=2^k(k≧0)
0547１３２人目の素数さん
2006/04/06(木) 21:19:160548１３２人目の素数さん
2006/04/06(木) 21:26:15明らか、じゃダメ？
0549１３２人目の素数さん
2006/04/06(木) 21:30:560550１３２人目の素数さん
2006/04/06(木) 21:33:49何か勘違いしてるかなあ
0551１３２人目の素数さん
2006/04/07(金) 09:02:29正解です。十分性は明らかですぞ。
次の問題。まあ数オリの問題なわけだが。
整数列{an}は、正の項も負の項も無限回現れるとする。また、任意の自然数nに対して、
a1，a2，…，anをnで割った余りは全て異なっているとする。このとき、数列{an}には
全ての整数が1回ずつ現れることを示せ。
0552１３２人目の素数さん
2006/04/07(金) 10:40:000553１３２人目の素数さん
2006/04/07(金) 10:45:280，1，-1，2，-2，3，-3，…
0554１３２人目の素数さん
2006/04/07(金) 16:28:41>>552でほとんど正解だと思うけど答えてみる。
i＜jならば、a1,a2,…,ajをjで割った余りは全て異なるので、ai≠ajである。
a1,a2,…,anの中に|ai-aj|=m≧nなるi,j(i＜j)があるとすれば、
a1,a2,…,amにおいてaiとajはmで割った余りが等しいので矛盾。
よってa1,a2,…,anの任意の2項の差は最大でn-1なので、
a1,a2,…,anはn個の連続整数を任意の順に並べたもの。
{an}は正の項も負の項も無限に含むから、任意の自然数Nについて
ai＜-N,N＜ajなるai,ajが存在し、a1からaiまたはajまでの項は連続する整数だから
aiとajの間の整数は全て{an}に含まれる。
よって{an}は全ての整数を1個ずつ含む。
0555１３２人目の素数さん
2006/04/08(土) 20:53:040556１３２人目の素数さん
2006/04/09(日) 01:23:07では残った半円を、中心点を通る線と平行な線でさらに二等分して同じ面積にする場合
どこで分割すればいいか？
半径をＲとして、中心点と通る線とその線の距離は？
0557１３２人目の素数さん
2006/04/09(日) 02:38:10冷めてみるとつまらんな。
0558１３２人目の素数さん
2006/04/10(月) 22:01:11sin2θ + 4θ = π を、θについて解けばよい（θが中心角）というところまでは分かった。
でも、数式処理のソフトに解かせてみても無理だったので、代数解は無いんじゃね？ｗ
0559１３２人目の素数さん
2006/04/12(水) 01:57:02これを、1階からb階までは1階からa階までのb/a倍の長さとして解いてしまい、
整数の答えが得られたが、正しい答えも整数であった。
これを満たす整数a,b,nの組を全て求めよ。
0560１３２人目の素数さん
2006/04/12(水) 02:05:02ごめん、この問題、無かったことにして。
0561Prince
2006/04/14(金) 07:47:18a階で止まる時か？それとも通過する時か？
途中の各階は通過するのか止まるのか？
0562１３２人目の素数さん
2006/04/14(金) 12:18:54C_2とC_3の２交点を結ぶ線分をl_1、
C_3とC_1の２交点を結ぶ線分をl_2、
C_1とC_2の２交点を結ぶ線分をl_3
とおくとき、l_1,l_2,l_3は共通の点を通ることを証明せよ。
エレガントな解答があります。どうぞ。
0563１３２人目の素数さん
2006/04/14(金) 18:54:26問題の平面をαとし、αを含む空間を考える。
同じ大きさの球S_1,S_2,S_3を、αとの交線がC_1,C_2,C_3となるようにとり、
S_1,S_2,S_3の中心をそれぞれP,Q,R、これらを通る平面をβとする。
S_2とS_3の交線を通る平面をγ_1、
S_3とS_1の交線を通る平面をγ_2、
S_1とS_2の交線を通る平面をγ_3
とおくと、γ_1,γ_2,γ_3はそれぞれQR,RP,PQの垂直二等分面なので、
それらは△PQRの外心を通りβに垂直な直線mを共有する。
l_1,l_2,l_3はそれぞれγ_1,γ_2,γ_3とαの交線であるから、
これらはmとαの交点を通る。
0564１３２人目の素数さん
2006/04/14(金) 19:16:54アイデアはほぼ模範解答と同じです！
ですが模範解答はもう少し簡単で想像しやすいものです。
0565１３２人目の素数さん
2006/04/15(土) 00:22:08その模範解答おしえて～な
0566562
2006/04/15(土) 01:00:57問題の平面をαとし、αを含む空間を考える。
中心と半径がC_kと同じである球面をS_kとおくと、(k=1,2,3)
S_2とS_3の交線、
S_3とS_1の交線、
S_1とS_2の交線
をそれぞれαに直交射影したときの像がl_1,l_2,l_3である。
S_1,S_2,S_3は共有点（２点）をもつので、
l_1,l_2,l_3はいずれもその点をαに直交射影した点を通る。
0567１３２人目の素数さん
2006/04/15(土) 01:31:44もたない場合もあるよ。
0568１３２人目の素数さん
2006/04/15(土) 01:43:51どういう場合？
0569562
2006/04/15(土) 01:50:21C_1,C_2,C_3の各内部の共通部分は空でない。
ことを入れておかなければなかったですね。
（そもそもそうじゃなきゃ線分l_1,l_2,l_3は交わらない。直線ならおｋ）
考えてくださった方申し訳ありませんでしたorz
0570１３２人目の素数さん
2006/04/15(土) 01:55:150571１３２人目の素数さん
2006/04/15(土) 02:00:00ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ＝ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｇｘ＋ｈｙ＋ｉならば
ｘ＾２＋ｙ＾２＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｇｘ＋ｈｙ＋ｉ。
0572１３２人目の素数さん
2006/04/15(土) 02:07:00なるほど、こっちのほうが簡単かも。
0573１３２人目の素数さん
2006/04/15(土) 02:10:00ｘ＾２＋ｙ＾２＝２＾２。
（ｘ－１）＾２＋ｙ＾２＝２＾２。
0574１３２人目の素数さん
2006/04/15(土) 02:20:29あ、それ反例だな。気付かなかった。
0575562
2006/04/15(土) 02:28:480576１３２人目の素数さん
2006/04/15(土) 02:41:59【下４ケタ目は２】
【080で始まる】
(080を除いた下8ケタで)
３で割り切れない →割って１余る数ではない
2、5、11のいずれでも割り切れない
(携帯番号の下4桁)
2 3 5 7 9 11 13 17 19 23のいずれでも割り切れない
携帯番号の下4桁 もしくは (携帯番号の下4桁-1)は34で割り切れる
携帯番号の下8桁目は3、5、7のどれか
080以降に0はない
問：できる範囲までこの者の携帯電話番号を特定せよ
0577１３２人目の素数さん
2006/04/15(土) 02:46:39080◎○○▲●●●●
◎は3or5or7
▲は1or3or7or9
●は
2177
2279
2483
2687
2789のいずれか
(080を除いた下8ケタで)
3で割ると2あまる
奇数
5or11のいずれでも割り切れない
080以降に0はない
0578１３２人目の素数さん
2006/04/16(日) 00:19:01ある長方形を過不足無く覆えるとき、この長方形の縦と横の長さの条件を求めよ。
0579１３２人目の素数さん
2006/04/16(日) 21:37:06証明できん。orz
0580１３２人目の素数さん
2006/04/16(日) 22:27:32たしか1×nのタイルをいくつか用いてある長方形を過不足無く覆えるとき
⇔縦か横のいずれかがnの倍数
が面倒な議論で証明できたと思う
nが素数だと楽なんだけど。。
0581１３２人目の素数さん
2006/04/16(日) 23:25:51＞1辺の長さが1の正方形を4つつなげた凸の形のタイル
ですよ。
ちなみに1×nのタイルの場合の証明
長方形を1×1の正方形で区切り、上からi番目、左からj番目の場所に対し、
i-jをnで割った余りをその場所の番号とする。
このとき、1×nのタイル1枚は0からn-1までの番号を1つずつ覆う。
よって、0からn-1までの番号は同数ずつある。
長方形の縦の長さをnで割った余りをa、横の長さをnで割った余りをbとすると、
左上のa×bの部分以外の部分は0からn-1までの番号を同数ずつ含む。
左上のa×bの部分について、0番はMin(a,b)個ある。
よってab=Min(a,b)×nなのでa=0またはb=0、即ち長方形の縦または横の長さはnの倍数。
0582１３２人目の素数さん
2006/04/20(木) 15:57:150583１３２人目の素数さん
2006/04/20(木) 20:43:010584１３２人目の素数さん
2006/04/24(月) 05:09:310585Queen ◆xeS.CIM.Jk
2006/04/25(火) 17:48:33これらのバックアップを取って保管したい。このとき、容量nﾊﾞｲﾄのメディアを最低いくつ用意すればよいか。
ただし、N､m､nは自然数であり、N＞n＞m。
0586GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/04/25(火) 18:38:250587Geek ◆8MQVxjnUkg
2006/04/25(火) 18:44:12[[n/m]/[N/m]]個か？
深く考えてないから間違ってるかもしれないが。
0588GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/04/25(火) 18:47:170589Geek ◆8MQVxjnUkg
2006/04/25(火) 18:48:26そんな事言ってたら、例えば物理の問題なんて
一切解けない気がするんだが。
0590Queen ◆xeS.CIM.Jk
2006/04/25(火) 18:48:25そういうトンチはやめてくれ。
>geek
どういう方針？気になる。
0591Geek ◆8MQVxjnUkg
2006/04/25(火) 18:53:36そしたらすべてのファイルの個数は少なくとも[N/m]（ここでガウス記号がいるか
要らないか自信ない・・・）となり、
また、ｎバイトのメディアに入れられるファイルは、少なくとも
[n/m]個だから、合計[[n/m]/[N/m]]個のメディアがあれば・・・あれ、
分子のほうが「少なくとも」ってのはおかしいか。ちょっと考え直す。
0592Queen ◆xeS.CIM.Jk
2006/04/25(火) 18:58:400593１３２人目の素数さん
2006/04/25(火) 20:44:000594１３２人目の素数さん
2006/04/26(水) 21:29:05ファイルを全部つなげて圧縮してから
nバイトごとに分割保存だ。
0595１３２人目の素数さん
2006/04/30(日) 19:30:04これって>>581みたいなうまい解法はあるんだろうか。
それ以前に、解決されている問題なんだろうか。
0596Queen ◆xeS.CIM.Jk
2006/05/01(月) 01:04:20a_1=a、
a_(n+1)=(a_n)! (n:奇数)
a_(n+1)=1/(a_n) (n:偶数)
lim[n→∞]a_nを求めよ。
0597ゆんゆんママ
2006/05/01(月) 01:36:17よろしくないのでは？
0598Queen ◆xeS.CIM.Jk
2006/05/01(月) 02:08:40あぁ、そうだな。ご親切にありがとう。
0599ゆんゆんママ
2006/05/01(月) 02:16:090600Queen ◆xeS.CIM.Jk
2006/05/01(月) 02:19:26煽りや中傷を受けたなら私が守ろう。安心していてください。
0602１３２人目の素数さん
2006/05/01(月) 06:14:440603１３２人目の素数さん
2006/05/01(月) 15:38:22ﾊﾞﾛｽｗｗｗｗｗ
0604他スレ 未解決問題
2006/05/04(木) 02:42:10αを1の2^n+1乗根とする。{f(α)}^2+{g(α)}^2=-1を満たし、係数が全て整数である多項式f(x)、g(x)が存在することを示せ。
どうすればいいのか分かりませんorz
(引用者コメント)
2^n+1=3 なら
α^2 + (α^2)^2 = -1
2^n+1=5 なら
(α+α^4)^2 + (α^2-α^3)^2 = -1
0605１３２人目の素数さん
2006/05/04(木) 10:00:00（ｘ＋ｘ＾４＋ｘ＾６－ｘ＾７）＾２＋（ｘ＾２－ｘ＾３－ｘ＾５－ｘ＾８）＾２＝－１。
0606１３２人目の素数さん
2006/05/07(日) 08:42:26連続した2桁が「12」となっている確率pnを求めよ。
0607１３２人目の素数さん
2006/05/07(日) 18:03:13何進数？ 二進数で０の代わりに1、1の代わりに2って書く国だったら
結構簡単な問題になるっぽい。
0608１３２人目の素数さん
2006/05/07(日) 19:26:43n桁以下の非負整数のうち、12の並びを「含まない」ものの総数をf(n)とし、
f(n+1)を漸化式で表すことを考える。
f(n)として数えられている各数の左に、任意の数字を1つ書き加えると、
総数は10倍に増える。ただしそれらのうち、書き加えたことにより先頭2桁が
12となってしまうものがf(n-1)通りあり、それらを除外する必要がある。
つまり f(n+1)=10f(n)-f(n-1)、( f(0)=1、f(1)=10 )。
これを解くと、p=5+2√6、q=5-2√6 として
f(n)=(p^(n+1) - q^(n+1))/(p-q)。
これにより、求める確率は、1-(f(n)/10^n)。
0609１３２人目の素数さん
2006/05/07(日) 20:52:55解けるかどうか自分でもわからないんだが・・・
１：相手と自分とで数字を一つ指定する
２：何らかの方法で別の数字に変換する
３：変換された数字同士で計算し、最初に指定した数字がどっちが大きいか判断する
という方法は無いかな？
要は、相手の数字を知らずに自分の数字を知っているだけの状態で
どっちが大きいかだけがわかる方法ってないか？ってこと。
0610１３２人目の素数さん
2006/05/07(日) 21:20:34ゴメン、10進法のつもりだった。まあ何進法にしても大差ないけど。
>>608
正解。俺は「12の並びを含まないもののうち、先頭が1であるものをan，2であるものをbn，
それ以外であるものをcn」とおいて、an，bn，cnのそれぞれについて漸化式を立て、それを
使ってzn＝an＋bn＋cnについての漸化式を立てて(当然z(n＋1)＝10zn－z(n－1)になる)解いた。
…実は、IDスレを見て作った問題。「IDの中に2文字の良い文字列が入ってる」確率を求めている感じ。
0611１３２人目の素数さん
2006/05/08(月) 01:24:11選べる数は整数？実数？
どっちにしても、数を変換する関数の逆関数が計算できると思うから、
相手の数の変換後の数から元の数を求めることができてしまうと思う。
つまり相手の数を知らずにというのは無理じゃないかと。
多分ね。
0612１３２人目の素数さん
2006/05/08(月) 01:57:12http://hobby8.2ch.net/test/read.cgi/puzzle/1092999551/476-480n
ｘ＾２≠１。
ｙ＝Π＿｛０≦ｋ＜ｎ｝（１＋ｉｘ＾（２＾ｋ））。
ｚ＝Π＿｛０≦ｋ＜ｎ｝（１－ｉｘ＾（２＾ｋ））。
（（ｙ＋ｚ）／２）＾２－（（ｙ－ｚ）／２）＾２
＝ｙｚ
＝Π＿｛０≦ｋ＜ｎ｝（１＋ｘ＾（２＾（ｋ＋１）））
＝Π＿｛０≦ｋ＜ｎ｝（（１－ｘ＾（２＾（ｋ＋２）））／（１－ｘ＾（２＾（ｋ＋１））））
＝（１－ｘ＾（２＾（ｎ＋１）））／（１－ｘ＾２）。
（ｘ（ｙ＋ｚ）／２）＾２＋（ｘ（ｙ－ｚ）／２ｉ）＾２＝－１。
0614１３２人目の素数さん
2006/05/10(水) 20:05:12次の問題は解けますでしょうか？私は証明を知りません。
でも証明できたという人はいます。
2以上の任意の自然数nに対して Σ_[k=1,n]√k は無理数であることを示せ。
0615１３２人目の素数さん
2006/05/10(水) 20:15:410616１３２人目の素数さん
2006/05/12(金) 02:29:19(2^n) + 1 ? (2^n) + 1 ?
確認したのか？
0617１３２人目の素数さん
2006/05/13(土) 20:48:360618１３２人目の素数さん
2006/05/17(水) 02:30:000619１３２人目の素数さん
2006/05/17(水) 12:25:080620１３２人目の素数さん
2006/05/19(金) 17:28:49経験上、ポイントカードのシステムは次のようである。
・各商品には価格の何％というようにポイント還元率が設定されている。
・商品を購入する際、ポイントを「貯める」か「使う」かを選択できる。
・「貯める」場合は(価格)*(ポイント還元率)だけポイントが加算される。
・「使う」場合は貯まっているポイントの分価格から割引し(1pt=\1)、
ポイントが0になる場合は割り引いた価格に対してポイント還元率を乗じて新しいポイントを得る。
（ポイントが余る場合はそのまま）
さて、「貯める」か「使う」かの選択をどのような基準で選べば最も得をするか数学的に論ぜよ。
ただしポイントを「使う」ことによって早めに現金を手にすることは損得の基準とは関係ないこととする。
また、簡単のため一回の購入につき商品の数は１つであるとする。
0621１３２人目の素数さん
2006/05/19(金) 17:29:390622β
2006/05/19(金) 17:50:30その商品を売る。
売ったお金で安い商品を大量に買う。
このときポイントをそれぞれの商品に適量用いて利益が最大になるようにし、
別の所で安い商品を売る。
連鎖。
0623１３２人目の素数さん
2006/05/19(金) 17:50:560624β
2006/05/19(金) 17:56:38前みたいに顔射されたいかい？
Ａ（ｎ）＝｛ａ＋ｂ√（ｐ（ｎ））｜ａ∈Ａ（ｎ－１），ｂ∈Ａ（ｎ－１）｝。
（１）Ｑ⊂Ａ（ｎ）。
（２）ｘ∈Ａ（ｎ），ｙ∈Ａ（ｎ）＝＞ｘ＋ｙ∈Ａ（ｎ），ｘ－ｙ∈Ａ（ｎ），ｘｙ∈Ａ（ｎ）。
（３）ｘ∈Ａ（ｎ），ｙ∈Ａ（ｎ），ｙ≠０＝＞ｘ／ｙ∈Ａ（ｎ）。
（４）ｘ∈Ａ（ｎ）でｘ＾２が平方因数をもたない正の整数のとき
ｘ＾２の素因数はｐ（ｋ）（１≦ｋ≦ｎ）。
（５）ａ∈Ａ（ｎ），ｂ∈Ａ（ｎ），ａ＋ｂ√（ｐ（ｎ＋１））＝０＝＞ａ＝０，ｂ＝０。
ｎ＝０のときの（１），（２），（３），（４），（５）は成り立つ。
ｎ＝ｍ－１のとき成り立つとする。
ｎ＝ｍ－１のときの（１）からｎ＝ｍのときの（１）は成り立つ。
ｎ＝ｍ－１のときの（２）からｎ＝ｍのときの（２）は成り立つ。
ｎ＝ｍ－１のときの（２），（３），（５）からｎ＝ｍのときの（３）は成り立つ。
ｎ＝ｍ－１のときの（１），（２），（４），（５）から
ｎ＝ｍのときの（４）は成り立つ。
ｎ＝ｍのときの（２），（３），（４）からｎ＝ｍのときの（５）は成り立つ。
よってｎ＝ｍ－１のときの（１），（２），（３），（４），（５）が成り立つなら
ｎ＝ｍのときの（１），（２），（３），（４），（５）が成り立つ。
0626１３２人目の素数さん
2006/05/22(月) 17:49:03A⊂Nがa>0に対し#(A∩{1,2,…,n})/n→a (n→∞)を満たすとき、
Aには任意の長さの(交差が0でない)有限等差数列が存在することを証明せよ。
0627１３２人目の素数さん
2006/05/22(月) 19:53:470628１３２人目の素数さん
2006/05/23(火) 22:02:48すると、f '=0,f''=0,f'''=0 ,,,,となる点の重心もＧとなることを示せ。
0629１３２人目の素数さん
2006/05/25(木) 21:35:300630１３２人目の素数さん
2006/05/27(土) 13:06:35五人のうち四人がパジャマの上着を交換しあいました
また、五人のうち三人が、ズボンを交換しあいました
そして、その交換後、上下をそろいで着ている女の子はいませんでした
五人はそれぞれ誰の上着とズボンを着ていたのでしょうか？
・「Aの上着を着ている女の子」のズボンをはいているのはCです
・「Bの上着を着ている女の子」のズボンをはいているのはAです
・「Dのズボンをはいている女の子」のズボンをはいているのはEです
・Aのズボンをはいている女の子は、Bの上着を着ていません
0631１３２人目の素数さん
2006/05/27(土) 13:59:50あたりまえ
0632１３２人目の素数さん
2006/05/27(土) 14:00:31誰がどれを着てたかなんてどうでもいいから全部俺にくれ
0633１３２人目の素数さん
2006/05/27(土) 14:21:05私としてはC,A,Eはズボンのみを履いていておっぱい丸出し、
そしてBとDは全裸でいる、というのが理想です
0634１３２人目の素数さん
2006/05/27(土) 20:36:09パジャマは全部>>632にやるから、中身は全部俺にくれ！
0635ああああ
2006/05/28(日) 01:47:493次方程式 f(x)= Σ(i=0 to 3) a_i *x^i =0 の3個の解を複素平面上に三角形ＡＢＣ、f '=0 となる2点をＤ，Ｅとする。
Ｄ，Ｅは三角形ＡＢＣに内接する面積最大の楕円の焦点になることを示せ。
0636１３２人目の素数さん
2006/05/30(火) 00:18:140637１３２人目の素数さん
2006/05/30(火) 00:49:20???
0638636
2006/05/30(火) 01:04:550639１３２人目の素数さん
2006/06/03(土) 01:54:34ABCDE、五人の男の子が、パジャマパーティーをしました
五人のうち四人がパジャマの上着を交換しあいました
また、五人のうち三人が、ズボンを交換しあいました
そして、その交換後、上下をそろいで着ている男の子はいませんでした
五人はそれぞれ誰の上着とズボンを着ていたのでしょうか？
・「Aの上着を着ている男の子」のズボンをはいているのはCです
・「Bの上着を着ている男の子」のズボンをはいているのはAです
・「Dのズボンをはいている男の子」のズボンをはいているのはEです
・Aのズボンをはいている男の子は、Bの上着を着ていません
0640１３２人目の素数さん
2006/06/03(土) 01:57:580641１３２人目の素数さん
2006/06/03(土) 03:52:31女の子じゃないと解く気がしない
0642１３２人目の素数さん
2006/06/03(土) 04:26:41人 A B C D E
────────
上 C D A B E
下 D B C E A
おそらく、これしかないはず。
[人*上]、[人*下]という二つのマトリクスを作って、○×を書き込んで調べた。
・ [人*上] 表では、(A,B)のマスは常に×、なおかつ対角線上にはただ1つの○がくる。
・ [人*下] 表では、(D,D)のマスは常に×、なおかつ対角線上にはちょうど2つの○がくる。
という事実をフル活用したら、場合分けはそれほど爆発しなかった。
0643１３２人目の素数さん
2006/06/04(日) 14:21:20http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/645
645 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/06/04(日) 12:11:10
nを3以上の整数とする。正n角形の各頂点に1つずつ整数を割り当てそれらn個の
整数の和が正になるようにする。連続する3個の頂点に割り当てられた整数を
それぞれx,y,zとする。このときy<0ならば次の操作を行う：
3つの数x,y,zをそれぞれx+y,-y,z+yで置き換える。
n個の整数のうち少なくとも1つが負である限り上述の操作を繰り返し実行する。
有限回の操作の後、この手続きが完了するか否かを決定せよ。
0644１３２人目の素数さん
2006/06/04(日) 14:22:38http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1149124263/645
0645１３２人目の素数さん
2006/06/04(日) 18:00:01f_i(x1,x2,…,xn)=Σ｜隣り合ったi個の数の和｜とする
例えばf_1(x1,x2,x3,x4,x5)=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|
f_3(x1,x2,x3,x4,x5)=|x1+x2+x3|+|x2+x3+x4|+|x3+x4+x5|+|x4+x5+x1|+|x5+x1+x2|
f(x1,x2,…,xn)=Σ[i=1,2,…,n]f_iとすれば
f(x1,x2,…,x+y,-y,z+y,…,xn)-f(x1,x2,…,x,y,z,…,xn)=|y+Σxi|-|-y+Σxi|<0
よってx1～xnに中に負の数があれば>>643の操作を繰り返すたびfは小さくなっていく
しかしfは絶対値の和だから0より小さくはならない
よって途中でx1～xnの中に負の数がなくなって>>643の操作を出来なくなる事が分かる
0646１３２人目の素数さん
2006/06/11(日) 16:54:41このとき、xは有理数か、無理数か。
0647１３２人目の素数さん
2006/06/11(日) 17:07:30[x]はxを超えない最大の整数。 念のために、x＞0も追加しておく。
0648１３２人目の素数さん
2006/06/11(日) 17:26:57正の有理数x，非負整数mに対してx^m＝9/2が成り立つのは(x，m)＝(9/2，1)に限ることが簡単に
示せるので、これを使うと、x^[x]＝9/2を満たす有理数xは(x，[x])＝(9/2，1)を満たすことに
なるが、これを満たす有理数xは存在しない。よってx^[x]＝9/2を満たすxは無理数。
0649１３２人目の素数さん
2006/06/12(月) 00:58:52関数x^[x]は単調増加でありx=2のとき2^2=4, x=3のとき3^3=27なので
x^[x]=9/2より[x]=2, さらにx=(9/2)^(1/2)とわかるからxは無理数
0650１３２人目の素数さん
2006/06/12(月) 01:36:490651１３２人目の素数さん
2006/06/13(火) 16:22:47http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwaN/taiwaNch03/node10.html
0652１３２人目の素数さん
2006/06/14(水) 00:33:13sin(9°) + cos(9°)
を求めよ。
0653１３２人目の素数さん
2006/06/14(水) 01:33:32-( sin(666°) + cos(6*6*6°) ) を求めよ。
ってのも欧米人は好き。
0654１３２人目の素数さん
2006/06/14(水) 03:00:43俺はこっちで邪念が入る
誰がどれ着てたかなんてどうでもいいから服も中身も全部俺にくれ
0655１３２人目の素数さん
2006/06/15(木) 16:25:590656１３２人目の素数さん
2006/06/15(木) 17:21:39与式＝Σ[x,x']{Σ[i＝1～n]f(x,i)f(x’,i)}^2
＝Σ[x＝x']{Σ[i＝1～n]f(x,i)f(x’,i)}^2＋Σ[x≠x']{Σ[i＝1～n]f(x,i)f(x’,i)}^2
≧Σ[x＝x']{Σ[i＝1～n]f(x,i)f(x’,i)}^2
＝Σ[x＝1～n]{Σ[i＝1～n]f(x,i)f(x,i)}^2
＝Σ[x＝1～n]{Σ[i＝1～n]1}^2
＝n^3
0657１３２人目の素数さん
2006/06/15(木) 18:10:52四則計算で１０を作りなさい
0658１３２人目の素数さん
2006/06/15(木) 23:29:01(1+(1/9))*9=10
((1/9)+1)*9=10
((1/9)+1)*9=10
(1+(1/9))*9=10
(1+(1/9))*9=10
((1/9)+1)*9=10
((1/9)+1)*9=10
9*(1+(1/9))=10
9*((1/9)+1)=10
9*(1+(1/9))=10
9*((1/9)+1)=10
9*(1+(1/9))=10
9*((1/9)+1)=10
9*(1+(1/9))=10
9*((1/9)+1)=10
0659１３２人目の素数さん
2006/06/16(金) 16:34:11Vがいろいろと位置を変えるときのSの最大値と最小値を求めよ。
0660１３２人目の素数さん
2006/06/16(金) 17:20:41東大過去問乙
0661１３２人目の素数さん
2006/06/17(土) 05:12:04「無意味なスレ立て厳禁」
って読めませんか？
そういうくだらない話は質問スレでやってください
終 了
そして>>1はすぐ死ね
0662１３２人目の素数さん
2006/06/17(土) 09:27:070663１３２人目の素数さん
2006/06/17(土) 13:06:56一つの封筒にはもう一つの封筒の２倍の金額が入っています
今あなたはどちらか一方の封筒を選ぶ事が出来ます
さて、今あなたは一つの封筒を選びましたが
もう一つの封筒に代えても良いと言われました
あなたは考えました
今の封筒にx円入っているとするともう一つに入っている
金額は２倍の確率（１／２）、半分の確率（１／２）だから
期待値は
2*x*(1/2)+(1/2)*A*(1/2)=1.25x
となるため、もう一つの方に代えた方が良いと考えました
さて、これは正しいでしょうか？
0664１３２人目の素数さん
2006/06/17(土) 14:20:21自然数の集合Nには確率測度が入らないからそういう確率の議論が出来ない、
とかじゃなかったっけ？
0665１３２人目の素数さん
2006/06/17(土) 15:55:34xのとりうる値に上限がない→xの期待値は無限大→xの半分も二倍も無限大
0666１３２人目の素数さん
2006/06/17(土) 17:27:54封筒を開けて金額を見ても良いという条件を加えたらどうなる？
例えば、１０００円だったとしても、>>663の計算は
適用できるだろ？
0667enkou@hot .co.jp
2006/06/17(土) 17:28:24http://ilikeenkou.com/
0668１３２人目の素数さん
2006/06/17(土) 17:59:06俺なら交換しない。なぜなら、
封筒に入っている金額が1000円以下である確率は0だから。
封筒に入っている金額が1億円以下である確率は0だから。
封筒に入っている金額が1京以下である確率は0だから。
封筒に入っている金額が10^1京円以下である確率は0だから。
封筒に入っている金額が10^(10^(10^(10^(10^(10^(10^10))))))円以下である確率は0だから。
一般に、どんな自然数nに対しても、封筒に入っている金額がn円以下である確率は0だから。
わざわざ交換しなくたって、封筒の中には我々が十分満足できる金額が入っている。そうだな、
一国家の数億年分の予算でもまだ足りないくらい入ってるだろう。
0669668
2006/06/17(土) 18:00:08なんじゃこりゃｗこれは削っておいてくれ。
0670１３２人目の素数さん
2006/06/17(土) 18:08:14なんか良く分からない
もう一つの封筒に入っている金額は
５００円か２０００円のはずなんだけど
0671668
2006/06/17(土) 18:13:12ああ、1000円の場合ね。だったら、封筒にたったの1000円しか入ってなかった
自分のあまりの運のなさに絶望して交換云々どころじゃないな。
0672１３２人目の素数さん
2006/06/17(土) 18:20:11ちゅうか数学の問題として考えろよ
じゃあ１０００万円で
0673１３２人目の素数さん
2006/06/17(土) 18:26:43こんな確率もとめてみたい その1/3
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1109546954/
0674668
2006/06/17(土) 18:34:59まだ分からんのか？封筒に入っている金額に上限がないのに、一体どうやって期待値Eを算出するの？
直接計算するか？あるいは、封筒に入っている金額の上限がn円である場合の期待値Enを求め、これの
極限値を求めるか？それとも全く別の方法か？
前者の場合：
E＝Σ[i＝1～∞]P(x)E(x)＝0となる。
( P(x)は、初めの封筒に入っていた金額がx円である確率。つまりP(x)＝0)
( E(x)は、初めの封筒に入っていた金額がx円であるときの、もう1つの封筒に入っている金額の期待値。)
後者の場合：
解釈1：問題文の設定より、Enは計算できない。というか、そもそも封筒Aに上限を設定することが出来ない。
なぜなら、初めの封筒Aに入っている金額の上限がn円である場合、残りの封筒Bに入っている金額の上限は2n円と
なるから。問題文の設定から、初めに封筒Bを開けてしまえば、1/2nの確率で封筒Bにはn円が入っていて、そのとき、
残りの封筒Aには1/2の確率でn*2＝2n円入っていることになり、封筒Aに入ってる金額の上限がn円であることに矛盾する。
解釈2：「封筒をA，Bと区別し、必ず封筒Aから明け始める」と問題文を変更すれば上のような矛盾が起きないのでEnも
計算可能で、従ってlim[n→∞]En＝Eも計算可能となる。En＝Σ[i＝1～n](1/n)(n/2*1/2＋2n*1/2)＝Σ[i＝1～n]5/4＝5n/4
よってE＝∞
全く別の方法の場合：知らん。
0675668
2006/06/17(土) 18:45:39半分の確率（１／２）だから 期待値は 2*x*(1/2)+(1/2)*A*(1/2)=1.25x となるため、
もう一つの方に代えた方が良いと考えました さて、これは正しいでしょうか？
↑この人は「封筒にx円入っていた場合の、もう片方の封筒に入っている金額の期待値」＝E(x)を
求めたにすぎない。E(x)のみから判断してるのが意味不明。求める期待値Eは、このE(x)に「初めの
封筒に入っていた金額がx円である確率」＝P(x)＝0をかけた和だからE＝Σ[i＝1～∞]P(x)E(x)＝0となる。
つまり、この人は期待値Eを求める前に計算を止めて意味不明の判断を下しているだけ。もっとも、E自体も
0という意味不明な値になってるが。(これは問題文の状況設定「封筒に入ってる金額に上限が無い」が原因。)
0676１３２人目の素数さん
2006/06/17(土) 18:50:57だからx=1000円って事に問題変更
一つを選び、封筒を開けたら１０００円入っていた
さて、あたなは代えるべきか否か
2000*(1/2)+500*(1/2)=1250
が期待値に思えるがどうなの？って問題
0677668
2006/06/17(土) 18:59:33初めから1000円に固定されているのなら、「変えるべき」だろ。期待値が1250円なのだから。
＞2000*(1/2)+500*(1/2)=1250 が期待値に思えるがどうなの？って問題
明らかにそれは期待値。何を言ってるんだｗちなみに、1000円に固定するのなら、
その問題は次の問題と同じ。
問題：自分の所持金は1000円である。目の前には1回1000円のくじ引き屋がある。
このくじ引きでは1/2の確率で500円が当たり、残り1/2の確率で2000円が当たる。
このくじ引きはするべきか否か。
0678１３２人目の素数さん
2006/06/17(土) 20:26:02コインをn回投げて全部表なら4^n円もらえるとしよう。1枚でも裏なら0円。
nが大きくなれば期待値は発散するが、
この場合可算無限回投げるのが最適な戦術か。
0679１３２人目の素数さん
2006/06/18(日) 10:39:53じゃあ最初に戻って、１０００円に固定しないようにしよう
封筒を取りました
開けても良いと言われました
開けたら１０００円だった
上の議論により、「変えるべき」という結論
もう一回やりましょう
今度は１００００円でした
やはり「変えるべき」
つまりこのゲームは常に「変えるべき」が答えなのか？
0680１３２人目の素数さん
2006/06/18(日) 11:10:521回目では情報が得られていないので変えようが変えまいが一緒なのは自明。
2つのサイコロの目をふせたまま振って同じ目ならば勝ちというゲームで、
一方のサイコロの目をオープンにして、
このサイコロの出目を自由に変えてもいいよと言われて
勝つ確率を1/6より大きくも小さくもできないのと同じ。
一方だけを見てやめるを繰り返すと確率分布がわかってくる。
勝負をかけるならそこから。
0681Geek ◆8MQVxjnUkg
2006/06/18(日) 11:13:24xの上限値がないって言ってるけど、それって必要なの？
実際、上限値がある必要ないと思う。それに、これは
入っている金額をx円だと「仮定して」期待値を求めてるんだから、
「x円である確率」とか関係ないんじゃない？
そして、封筒を見て1000円だったときの期待値が1250円なら、
帰納法ですべての自然数についてそれがいえるんじゃないの？
まぁ、0.5円とか実質的に無理なのはあるけど、期待値には影響しないでしょ。
ドルとかセント使ってもいいんだし。
しかし、常に変えたほうがいいなんて事だったら、感覚的におかしいよな･････
どっちも選んでない状態ならどっちかを選んで得する確率も損する確率も
1/2なのに選んだとたんに損する確率のほうがでかくなるって･･････
三囚人問題とかもそうだけどさ、これって、「選ぶほう」じゃなくて
「選ばれるほう」を主観にしてみているからおかしな事になるんじゃない？
0682１３２人目の素数さん
2006/06/18(日) 14:01:43あなたは期待値だけで行動を決定するのですか。
歪みのないコインをn回投げて全部表ならa^n円もらえるとしたときどうしますか。
a=1.01、a=2、a=100のときで戦術は変わりますか。
その方法はコインを投げる回数nを最初から決めておかねばならないときと、
途中でnを変えてもよいときで変わりますか。
関数がa^nよりももっと速く増加する関数。
例えばn^n^…^n(指数がn重)、3↑…↑3(矢印がn個)のときはどうですか
0683668
2006/06/18(日) 14:20:58＞それに、これは 入っている金額をx円だと「仮定して」期待値を求めてるんだから、
「x円である確率」とか関係ないんじゃない？
関係ある。封筒の金額に上限が無くて無限だから、有限個の場合(＝封筒の金額に上限が
ある場合)と同じ考察を適用してはならない。
＞「選ぶほう」じゃなくて「選ばれるほう」を主観にしてみているから
おかしな事になるんじゃない？
その言い分がもし正しいとすると、その言い分は他のあらゆる「期待値に関する問題」にも
適用できてしまうのだが。おかしなことになる、原因は封筒の中身に上限が無いことと、
問題文の「あなた」が期待値E(x)のみから「変えるべき」という支離滅裂な判断を下している
ところ。判断を下すなら期待値Eを求めなければならない。
0684１３２人目の素数さん
2006/06/19(月) 09:22:45この関数の最大値と最小値を求めよ。
(1) 0<a<2 (2) 2≦a<4 (3) a=4 (4) 4<a
すみません、おねがいします
0685１３２人目の素数さん
2006/06/19(月) 09:31:50コピペしすぎ
0686１３２人目の素数さん
2006/06/19(月) 09:32:08コピペしすぎ
0687１３２人目の素数さん
2006/06/19(月) 12:09:28を満たす整数x,y,zを全て求めよ。
0688１３２人目の素数さん
2006/06/19(月) 15:21:08を満たすxを求めよ。
0689１３２人目の素数さん
2006/06/19(月) 18:29:29もう一方に2000円が入っている確率と500円が入っている確率は同じではないし
（同じであると考える理由が無い）
0690１３２人目の素数さん
2006/06/19(月) 18:40:38その確率が「同じである」というところまでが問題で設定されてるんじゃないの？
0691１３２人目の素数さん
2006/06/19(月) 18:44:300692668
2006/06/19(月) 18:54:52＞じゃあ最初に戻って、１０００円に固定しないようにしよう
「最初に戻って」だと？ふざけるな。戻ってないじゃん。問題文変わってるよｗ
問題1：今、ここにお金の入った封筒が２つあります。一つの封筒にはもう一つの封筒の２倍の金額が入っています。
今あなたはどちらか一方の封筒を選ぶ事が出来ます。あなたは一つの封筒を選びました。が、そのとき(←封筒の
中身をまだ見てない)、「もう一つの封筒に代えてもいいよ」と言われました。あなたは封筒を変えるべきでしょうか？
解答：期待値Eを計算すると、(>>674の解釈1の場合)E＝Σ[i＝1～∞]P(x)E(x)＝0となり、(>>674の解釈2の場合)E＝∞と
なるので意味不明。そもそもこの計算でちゃんと「期待値」になってるのかも怪しい。てか、そもそもこの問題では
どちらの封筒の中身もまだ分かってないので、変えても変えなくても一緒だろう。
問題2：今、ここにお金の入った封筒が２つあります。一つの封筒にはもう一つの封筒の２倍の金額が入っています。
今あなたはどちらか一方の封筒を選ぶ事が出来ます。あなたは一つの封筒を選んだら、x円入っていました。が、
そのとき、「もう一つの封筒に代えてもいいよ」と言われました。あなたは封筒を変えるべきでしょうか？
解答：変えるべき。期待値Eを計算するとE＝1.25x になっているから。
当初の>>663は問題1の方。初めに選んだ封筒の中身がまだ分かってない状態で、変えるか否かの選択を求められて
いる。それに対し、おまいが>>679で言ってるのは問題2の方。初めに選んだ封筒の中身が分かってる状態で、変えるか
否かの選択を求められている。問題2の場合は明らかに「変えるべき」となる。
0693１３２人目の素数さん
2006/06/19(月) 19:19:29x=y=z
0694１３２人目の素数さん
2006/06/19(月) 19:20:15見たら必ず変えることになるんだから。
実際には封筒に入った金額にはある確率分布が存在して、
その確率分布が分かっているなら当然変えるべきか
計算できる。（変えるべきかは見た金額による）
確率分布が分かっていないなら、当然変えても変えなくても同じ。
極端な話、封筒に入っているのは日本円の紙幣一枚と分かっていたとする。
1000円→もう一方は2000円なので変えるべき。
2000円→もう一方は1000円なので変えるべきでない。
5000円→もう一方は一万円なので変えるべき。
一万円→もう一方は5000円なので変えるべきでない。
となりますね。
別の例: 封筒に入っているのは1～10000円のいずれかとする。
奇数→もう一方は必ず2倍なので変えるべき。
5000円以上→もう一方は必ず半額なので変えるべきでない。
それ以外→変えるべき。
という戦略になりますか。
0695668
2006/06/19(月) 19:29:05＞見たら必ず変えることになるんだから。
分かってねぇな。たぶん おまいは「見たら必ず変える・見たら必ず変えない の2つの戦略は全く同じだろ！」と
言いたいのだろうが、それは違う。なぜなら、封筒の金額には上限が設定されてないから。おまいが言ってるのは
「(封筒の金額に上限が設定されているときは)見たら必ず変える・見たら必ず変えない の2つの戦略は全く同じだろ！」
ということにすぎない。
＞極端な話、封筒に入っているのは日本円の紙幣一枚と分かっていたとする。
＞別の例: 封筒に入っているのは1～10000円のいずれかとする。
↑おまいのこれらの発言も、そのことを裏付けている。
0696694
2006/06/19(月) 19:29:48確率を変えれば当然戦略は変わってくる。
1000円だったとき交換すべきかどうかを考えると、
全部等確率なら、500円と20000円が同じ確率なので
交換すべきだろう。
しかし、例えば2000円の確率が1/10000より低い場合を考えると、
(500, 1000)の組である確率が高く、(1000, 2000)の組である確率は
低いことになる。従って戦略は確率分布次第ということが分かる。
0697694
2006/06/19(月) 19:40:06何を言われているのかよく理解できないのですが、
上限が無いなら無いで、確率分布を設定してみてくれませんか？
金額がxである確率p(x)を。
当然Σp(x) = 1な奴を。
それが確定すれば、見た金額に対して交換すべきかすべきでないかは
計算できるでしょう。
確率分布の設定が出来ないなら、問題が解けるはずがない。
サイコロの目のそれぞれが出る確率が分からずにサイコロに
関する確率の問題を解いているようなもんです。
0698１３２人目の素数さん
2006/06/19(月) 23:50:51ttp://web2.incl.ne.jp/yaoki/ahm6men.htm
解決とは言い難いけど、立方体が最大値っていうのは
ほぼ間違いなさそう。
0699668
2006/06/20(火) 01:10:50＞金額がxである確率p(x)を。 当然Σp(x) = 1な奴を。
そうだな、無限小みたいな量εでp(x)＝ε，lim[n→∞]Σ[i＝1～n]ε＝1 を
満たすものを持ってくれば等確率になるから「見たら必ず変える」という戦略が
成り立つんじゃねーの。
0700688
2006/06/20(火) 12:16:45arctan(1/1)=π/4 …①
(2+i)(3+i)=5+5i より
arctan(1/2)+arctan(1/3)=π/4 …②
直角三角形の内角の和より
arctan(1/4)+arctan(4/1)=π/2 …③
①、②、③より
x=1/4
0701１３２人目の素数さん
2006/06/20(火) 14:29:00俺が元々聞きたかったのは問題２の方だな
問題の書き方がまずかったかな
で、問題２をこう変えたらどうなる？
問題：今、ここにお金の入った封筒が２つあります。
一つの封筒にはもう一つの封筒の２倍の金額が入っています。
今あなたはどちらか一方の封筒を選ぶ事が出来ます。
選んだ後、開けて金額を確かめ、別の方に撰択を変える事も出来ます。
さて、最適な戦略は？
常に別の方に変えるのが答え？
0702１３２人目の素数さん
2006/06/20(火) 15:11:40すべての正の金額が等確率で出るという仮定の下、期待値だけで判断するなら>>701は正しいでしょ。
ところで
> 金額がxである確率p(x)を。 当然Σp(x) = 1な奴を。
が自然数全体に入れるのが難しいなら正の実数全体に入れればいかがか。
0703694
2006/06/20(火) 15:25:54計算できますよ。
全ての自然数に対して確率が同じで、和が1ってのは無理だろうけど。
同様に正の実数に対して、∫p(x)dx=1 な分布はいくらでもあるだろうけど、
p(x)が全部のxに対して同じってのは無理でしょう。
0704668
2006/06/20(火) 15:53:05無限小みたいな量εでp(x)＝ε，lim[n→∞]Σ[i＝1～n]ε＝1 を
満たすものを持ってくれば等確率になるから、「見たら必ず変える」という
戦略が成り立つんじゃねーの。
ｘ＝ｙ＝ｚ。
ａ＋ｂ＋ｃ＝０。
ｘ＝ａｂ＾２ｄ。
ｙ＝ｂｃ＾２ｄ。
ｚ＝ｃａ＾２ｄ。
0706１３２人目の素数さん
2006/06/20(火) 20:33:04why?
0707１３２人目の素数さん
2006/06/20(火) 21:38:40ただし、１と５はすでに入っているものとします。
（□□－□）÷（□□－□□）＝１５
0708１３２人目の素数さん
2006/06/20(火) 22:34:54…あんまり、面白いとは言えないなあ。
0709１３２人目の素数さん
2006/06/23(金) 00:51:02T(長方形ABCD)⊂長方形ABCDとなった。
この時T(X)=Xとなる不動点Xを点A,B,C,Dから定規だけで作図する方法は存在するか？
0710１３２人目の素数さん
2006/06/23(金) 21:36:11そのうちのどちらかはジョンです。
そのうちのどちらかはいつも嘘をつきそのうちのどちらかはいつも本当のことをいいます。
今どちらがジョンかを当てます。
それには英語で3語の質問を双子の兄弟のどちらかにすればよいです。
なんと質問すればいいでしょう？
0711１３２人目の素数さん
2006/06/23(金) 21:43:17QBK
0712Geek ◆8MQVxjnUkg
2006/06/23(金) 22:23:480713１３２人目の素数さん
2006/06/23(金) 23:18:29liarの前に"a"がないから英語として間違ってるよ
Which is John?で良いんじゃね？
0714Geek ◆8MQVxjnUkg
2006/06/23(金) 23:21:34でもWhich is John?じゃだめじゃない？
johnとliarは質問文に含まれなければダメと思うんだが。
0716Geek ◆8MQVxjnUkg
2006/06/23(金) 23:32:37Is John liar? はあってるの？
あ、Does John lie? か？
0718710
2006/06/23(金) 23:35:08正解はDoes John lie?です。
0719Geek ◆8MQVxjnUkg
2006/06/23(金) 23:35:39俺はさじ投げ。ほかの人もよければ
回答がほしい。
0720Geek ◆8MQVxjnUkg
2006/06/23(金) 23:36:100721１３２人目の素数さん
2006/06/23(金) 23:37:17必要な方は落として使ってください。
ただ、Janeで動作確認済みですが、それ以外はわかりません。
0722１３２人目の素数さん
2006/06/23(金) 23:37:570723710
2006/06/23(金) 23:42:20レイモンド・Ｍ・スマリヤン著「パズルランドのアリス」
0724１３２人目の素数さん
2006/06/24(土) 04:48:17条件ぬけてないか？
ABCDだけじゃＸは決まらんジャロ
0725１３２人目の素数さん
2006/06/24(土) 07:48:39Xが一意的に決まらないって事か？Xを定規だけでは決められないって事か？
0726１３２人目の素数さん
2006/06/24(土) 09:46:08ABCDの移動先A'B'C'D'は作図に使えると思っていいのかな？
0727１３２人目の素数さん
2006/06/24(土) 10:26:30A,B,C,D,A',B',C',D'は作図に使えるという事でおねがいします
0728１３２人目の素数さん
2006/06/25(日) 19:34:520729１３２人目の素数さん
2006/06/25(日) 19:56:170730１３２人目の素数さん
2006/06/26(月) 03:48:130731１３２人目の素数さん
2006/06/29(木) 22:34:490732１３２人目の素数さん
2006/06/30(金) 02:53:09どうやって示すのだろう。つまり、立方体とか正20面体とかが隙間なく閉じた曲面を作ることを
どうやって示すのだろう。特に正12面体。
0733１３２人目の素数さん
2006/06/30(金) 04:09:37こんなこと照明する必要ないような、
まあ厳密にやりたいなら位相幾何を勉強することになるんだろうけど
0734１３２人目の素数さん
2006/06/30(金) 04:15:050735１３２人目の素数さん
2006/06/30(金) 16:16:44定義次第で６種類目以降が示せてしまう
0736１３２人目の素数さん
2006/06/30(金) 21:31:190737１３２人目の素数さん
2006/06/30(金) 21:33:070738１３２人目の素数さん
2006/06/30(金) 23:34:490739１３２人目の素数さん
2006/06/30(金) 23:51:52星型正多面体のこと、時々でｲｲから思い出してあげてくださいね。（ＡＡ略）
0740１３２人目の素数さん
2006/07/01(土) 13:06:390741１３２人目の素数さん
2006/07/01(土) 13:09:390742１３２人目の素数さん
2006/07/01(土) 21:18:4410001,100010001,1000100010001,10001000100010001,...
には素数が含まれないことを証明せよ。
0743１３２人目の素数さん
2006/07/01(土) 21:20:21100010001=3*7*13*37*9901
10001000100010001=41*271*3541*9091*27961
0744１３２人目の素数さん
2006/07/01(土) 21:21:000745１３２人目の素数さん
2006/07/01(土) 22:18:05奇素数pについて(10000^p-1)/9999が(10^p-1)/9で割り切れることを示せば十分。
{(10000^p-1)/9999}/{(10^p-1)/9}=(10000^p-1)/{1111(10^p-1)}
ここで10000^p-1は1111でも10^p-1でも割り切れ、かつ1111と10^p-1は互いに素であるから
10000^p-1は1111(10^p-1)で割りきれる。よって示せた。
0746１３２人目の素数さん
2006/07/01(土) 23:43:50正解
0747１３２人目の素数さん
2006/07/02(日) 11:53:180748１３２人目の素数さん
2006/07/02(日) 12:00:49下が男の子であることは、上が男であるか女であるかとは独立しているから、
下が男である確率は1/2となる。
0749１３２人目の素数さん
2006/07/02(日) 13:05:410750１３２人目の素数さん
2006/07/02(日) 13:07:15この数列は…,1,3,1,3,…や…,3,2,1,2,3,2,1,2,…や…,2,1,1,3,3,2,1,1,3,3,…などの
有限数列が2回繰り返すような部分を必ず含むと言えるか？
0751１３２人目の素数さん
2006/07/02(日) 14:22:08子供が80歳を超えると独立していない。
0752１３２人目の素数さん
2006/07/04(火) 12:53:41例：R（89340）＝90000、R（5400）＝5000、R（990）＝1000
0753１３２人目の素数さん
2006/07/04(火) 14:27:550754１３２人目の素数さん
2006/07/04(火) 22:07:11min[n∈N，n＜b]f(an)/nを求めよ。
0755１３２人目の素数さん
2006/07/05(水) 22:35:51言えない。
この問題、数セミのエレ解で見た記憶があったんで
探してみたら1998年7月号出題（10月号解答）だった。
まさにエレガントな解答が載ってた。
0756１３２人目の素数さん
2006/07/06(木) 00:55:160757１３２人目の素数さん
2006/07/06(木) 01:01:34ホテルじゃなくて、食堂だった希ガス
0758１３２人目の素数さん
2006/07/06(木) 01:18:210759１３２人目の素数さん
2006/07/06(木) 03:03:56とある年中無休の研修所のお昼ご飯は選択の余地がなく，カレーライスか牛丼か親子丼かスパゲティかのどれか一つ，利用者全員が同じ種類のものを食べます．
しかしながらこの研修所の食堂のおじさんのモットーは，利用者を飽きさせないように4品を出す順番を工夫して，どの日から何泊してる人にとっても，
お昼ご飯のパターンが連続して繰り返すこと（たとえば…親親…とか…カ牛カ牛…とか…牛ス親ス牛ス親ス…とか）がないようにすることです．
さて，このおじさんはどのような方法で毎日のメニューを決めていけばよいでしょうか．
誤解を防ぐために，数学用語で問題を言い直しておきます．
数列{a_n}が繰り返し部分をもつとは，a_{k+i}=a_{k+l+i}(i=0,…,l-1)を満たす整数kと1以上の整数lが存在するときをいいます．
1,2,3,4だけを要素とする無限列で繰り返し部分をもたないもの（を生成するアルゴリズム）を見つけてください．
たった4品のメニューで頑張っていたおじさんでしたが，不況の折，経費削減のためスパゲティを除く3品にメニューを減らすことになりました．
さて，このおじさんのモットーは依然として実現可能でしょうか．
余裕のある人はこの問題も考えてみてください．
ヒント：繰返し部分をもたない短い数列から，その中の1,2,3,4をそれぞれ適当な有限列に置き換るというフラクタル的な操作で，繰返し部分をもたない長い数列が作れます．
食堂のおじさんには悪いが、どう頑張っても利用者は飽きると思うｗ
0760１３２人目の素数さん
2006/07/06(木) 03:04:560761１３２人目の素数さん
2006/07/06(木) 03:21:430762１３２人目の素数さん
2006/07/06(木) 03:22:22情報thx！
0763１３２人目の素数さん
2006/07/06(木) 10:59:28B[0,1]、C[0,1]にはそれぞれ||f||=sup_[0≦x≦1](f(x))でノルムを入れる。
この時、∀f∈C[0,1](Tf=f)となるような有界線型作用素T:B[0,1]→C[0,1]は存在するか？
0764KingOfUniverse ◆667la1PjK2
2006/07/08(土) 08:04:380765１３２人目の素数さん
2006/07/08(土) 08:40:550766KingOfUniverse ◆667la1PjK2
2006/07/08(土) 08:50:060767１３２人目の素数さん
2006/07/08(土) 15:14:320768１３２人目の素数さん
2006/07/08(土) 21:46:340769KingOfUniverse ◆667lnVUqRY
2006/07/08(土) 22:15:410770KingOfUniverse ◆667la1PjK2
2006/07/09(日) 06:17:570771１３２人目の素数さん
2006/07/09(日) 09:02:560772中川泰秀 ◆5xTePd6LKM
2006/07/09(日) 09:05:370773１３２人目の素数さん
2006/07/10(月) 01:07:450774１３２人目の素数さん
2006/07/10(月) 01:51:24↓up
素数に無限があることを証明せよ。
0775１３２人目の素数さん
2006/07/10(月) 01:55:510776１３２人目の素数さん
2006/07/10(月) 02:46:220777１３２人目の素数さん
2006/07/10(月) 07:19:430778１３２人目の素数さん
2006/07/10(月) 11:08:13> 773数が無限にあるからじゃだめ？
n個、p1,…,pn とするとp1*…*pn + 1 はp1,…,pnのいずれでも割り切れないから矛盾
でいいんじゃ？
0779１３２人目の素数さん
2006/07/10(月) 11:24:310780１３２人目の素数さん
2006/07/10(月) 19:05:29ちょっ、そんなわけないって。
1秒間の平均速度が100のとき、
2秒で平均速度を200にすることは不可能なのと同じ。
2/{1/40+1/60}=48
0781１３２人目の素数さん
2006/07/10(月) 19:42:21どゆこと？
単純に2秒間で１００動いたじゃだめなわけ？
0782１３２人目の素数さん
2006/07/10(月) 19:54:51初めの1秒で40動き、次の1秒で60動いたから、この2秒間で100動いたことになる。
よってこの2秒間の平均速度は50。
0783１３２人目の素数さん
2006/07/10(月) 21:17:17f(x) = x (x∈Q)
f(x) = (ax+b)/(cx+d) (x∈R-Q)
ただし a～d∈Q, ad-bc≠0.
ぢゃあない罠....
0784１３２人目の素数さん
2006/07/10(月) 21:49:42ｽﾏｿ。ただの勘違いだった。
0785１３２人目の素数さん
2006/07/11(火) 02:30:52実数列{an}は単調減少数列で、0に収束するとする。このとき
liminf[n→∞]n*{an－a(n＋1)}＝0となることを示せ。
0786１３２人目の素数さん
2006/07/11(火) 02:47:36なんか、直感に反する結果だな……
真面目に考えてみるか。
0787785
2006/07/11(火) 02:53:010788１３２人目の素数さん
2006/07/11(火) 02:57:110789１３２人目の素数さん
2006/07/11(火) 03:01:14まあいずれにせよこれだけじゃあまり面白くないが
0790１３２人目の素数さん
2006/07/11(火) 04:20:000791１３２人目の素数さん
2006/07/11(火) 08:15:04ニヤニヤ…
ヒント つ【数蝉過去問】
0792１３２人目の素数さん
2006/07/11(火) 18:52:57A1～Anのいずれかは2a=b+cとなる{a,b,c}を部分に含む事を示せ
0793１３２人目の素数さん
2006/07/14(金) 21:23:31面白い問題おしえてーな 九問目
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/1093676103.html
962 ：１３２人目の素数さん ：2005/05/06(金) 16:59:38
自然数の集合NをS1～Smに分割したら、どれもx+y=zを満たすようなx,y,zのペアを含まなかった。
そんな風に分割出来る自然数mは存在するか？
これに対し同スレ971で解答が書かれていた。
>>792を同じような方法で解けないかさんざん考えたけど、難しい…。
0794１３２人目の素数さん
2006/07/15(土) 08:50:55あるδ＞0が存在して(a－δ，a＋δ)∩A＝{a}が成り立つとする。
(1)Aは高々可算集合であることを示せ。
(2)Aが有界集合ならば、Aは有限集合であることを示せ。
0795１３２人目の素数さん
2006/07/15(土) 11:54:06(2)x＋1＞0のときe^{x/(1＋x)}≦x＋1 (等号はx＝0のとき)が成り立つことを示せ。
(3)自然数n，m (n＞1)に対して(1－1/n)^m＝e^(-r)－ε(n，m)，r＝m/n，
0＜ε(n，m)＜re^(-r)/(n－1)＜1/(n－1) が成り立つことを示せ。
確率1/nで当たるくじをm回引いたとき、全部外れる確率をPとするとP≒e^(-m/n)になる、ということ。
しかもPとe^(-m/n)の誤差⊿＝｜P－e^(-m/n)｜は⊿＜1/(n－1) となっていて、非常によい近似を
与えている(通常、nは相当大きな数字だから)。
0796１３２人目の素数さん
2006/07/15(土) 14:09:29(1)各a∈Aに対しq∈(a-δ/2,a+δ/2)∩Qを対応させれば
AとQの部分集合が1対1に対応するのでAは高々可算。
(2)成り立たない。反例{1/n|n∈N-{0}}
0797１３２人目の素数さん
2006/07/15(土) 20:10:52あ…本当だ。ゴメン。「有界な閉集合」とでもしないと そうなっちゃうね。
0798１３２人目の素数さん
2006/07/15(土) 20:34:56は閉集合だけど、、
Aが～～を満たすなら、Aの濃度は実数体の濃度と等しいか、
または高々可算であることを示せ、とかいう問題は結構面白いかもｗ
この場合は連続体仮説を使わなくても証明できるんだよ、みたいなｗ
0799１３２人目の素数さん
2006/07/15(土) 23:00:000800１３２人目の素数さん
2006/07/15(土) 23:47:440801１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 10:20:04たとえばA＝{x＋iy｜x^2＋y^2＝1}＝単位円周 のときP(θ)[A]＝Aである。
次の条件を満たすA，θは存在するか？
・P(θ)[A]≠AかつP(θ)[A]⊂Aが成り立つ。(回転しただけなのに、元の集合の真部分集合となってしまう)
0802１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 10:45:07なんかバナッハ・タルスキーっぽい
0803１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 22:47:01x,y,Aは存在するか？
0804１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 23:16:14A=φのみ。
そのようなx,y,Aが存在すればP(x+y)[A]はP(x)[A]およびP(y)[A]の部分集合となるから。
0805１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 23:25:00＞各a∈Aに対しq∈(a-δ/2,a+δ/2)∩Qを対応させればAとQの部分集合が1対1に対応するので
qをよほどうまく取らないと1対1対応しないんじゃまいか？a，a’∈Aに対して、変なδ，δ’を
取ると(a－δ，a＋δ)∩A＝{a}，(a’－δ’，a’＋δ’)∩A＝{a’}，(a－δ，a＋δ)∩(a’－δ’，a’＋δ’)≠φ
となってしまうから、qは(a－δ，a＋δ)∩(a’－δ’，a’＋δ’)から取っている可能性がある。
これを防ぐには、δとδ’を十分小さくとって(a－δ，a＋δ)∩(a’－δ’，a’＋δ’)＝φとすれば
良いように見えるが、もしAが非可算ならば、これが出来ないこともあるかもしれない。
0806１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 23:27:15数学が得意な友達も含め、10人以上にメルして見たが誰も分からないまま。ちなみに数字は一回ずつしか使いません。計算の順番はもちろん自由です。
数字と数字をくっつけたりはしません（3、4→34はできない） 誰か分かる人が現われることを祈ります。
0807１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 23:37:19(3-7/4)*8とか？
0808１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 23:39:40δは
sup {x | (a-x,a+x)∩a = {a} }/2とかを取ると
一意に定めてやることが出来るし、それぞれのaたちを含む開区間は交わらない。
qはNで番号付けして一番最初のを取ってやればいい。
よって全て問題ない。
0809１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 23:41:41「Rの部分集合Aの各点aは孤立点であるとする」という条件があるので無問題。
q∈(a-δ/2,a+δ/2)∩Qのδは(a-δ,a+δ)∩A={a}を満たすδだけど、
隣りのaと重複してqを取ってしまうことが無いように「δ/2」としている。
0810１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 23:53:57なるほど…これなら重複しないな。ありがとう。
0811１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 21:49:140812１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 21:52:03書き忘れたけど、数字をつなげて2桁にするのは禁止。
0813１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 21:52:40しまった、√も禁止！
0814１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 22:00:04忘れてた。四則演算も禁止！
0815１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 22:01:40>>811=>>812=>>813≠>>814です、念のため。
0816１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 22:10:000817１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 22:11:17うおっ、正解！
0818１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 23:57:23ただし4つの数はそのままの順序で、それぞれ1桁の数として使用すること。
(1) 1,1,9,9 (2) 1,2,8,8 (3) 1,4,3,6 (4) 1,4,6,6 (5) 1,7,3,3 (6) 1,9,1,9
(7) 3,1,7,3 (8) 3,2,4,3 (9) 3,3,3,9 (10) 3,4,2,3 (11) 3,4,3,2 (12) 3,6,8,3
(13) 3,7,3,1 (14) 3,7,4,8 (15) 4,1,4,8 (16) 4,2,3,3 (17) 4,3,2,3 (18) 4,6,6,9
(19) 4,7,5,1 (20) 5,0,3,6 (21) 5,0,4,8 (22) 5,3,0,6 (23) 5,3,8,2 (24) 5,4,0,8
(25) 5,5,2,4 (26) 5,6,5,7 (27) 5,8,7,9 (28) 5,8,9,7 (29) 5,9,5,8 (30) 5,9,6,6
(31) 6,9,6,4 (32) 6,9,8,7 (33) 6,9,9,6 (34) 7,2,3,6 (35) 7,2,4,7 (36) 7,3,1,3
(37) 7,8,9,6 (38) 8,1,1,5 (39) 8,3,3,6 (40) 8,3,4,8 (41) 8,3,7,4 (42) 8,9,4,1
(43) 8,9,5,1 (44) 9,1,1,9 (45) 9,1,9,1 (46) 9,4,1,8 (47) 9,6,6,4 (48) 9,6,9,6
0819１３２人目の素数さん
2006/07/19(水) 05:17:54【数学】メイク１０で遊ぼうぜ！＠数学板【関係】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1017740389/l50
0820１３２人目の素数さん
2006/07/19(水) 17:08:090821１３２人目の素数さん
2006/07/20(木) 11:43:48封筒に入っている金額がx,2xとすれば
はじめにxを取ったときは取り直せばx増える。
はじめに2xを取ったときは取り直せばx減る。
取り直しをしても期待値は1.5xのまま変わらない。
0822１３２人目の素数さん
2006/07/20(木) 12:22:42xの値が分かっているならば、そうなるけどね。
0823１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 09:34:03・1回につき2k円で、サイコロを6個渡される。
・サイコロは6個いっぺんに全部投げる。(まあ1個ずつ投げても同じだが。)
・少なくとも1個は1の目が出ていれば3k円もらえて、そこでオシマイ。1の目が1個もなければ何ももらえず、そこでオシマイ。
0824１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 11:22:530825１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 11:33:32少なくとも1個は1の目が出る確率は1-(5/6)^6
もらえる期待値3k{1-(5/6)^6}
3k{1-(5/6)^6}-2k>0⇔k>0のとき得
3k{1-(5/6)^6}-2k=0⇔k=0のとき損得なし
3k{1-(5/6)^6}-2k=0⇔k<0のとき得
ただk<0のときはどうなのかなと。
0826１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 11:42:26k<0のとき得かと
0827１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 11:54:090828１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 12:49:17って、問題とける？
0829１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 12:53:510830１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 12:55:52ギャンブルとしては寺銭がかなりやすい
お得かも
0831１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 12:58:070832１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 13:33:170833１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 18:19:07>>826
正解。
では次の問題。
次の賭け事をやることは得か損か判定せよ。ただしk，nは自然数とし、n≧2とする。
・1プレイにつき2k円で、1/nの確率で当たるルーレットにn回挑戦できる。
・n回連続でルーレットをやる。
・少なくとも1回当たっていれば3k円もらえて、そこでオシマイ。1回も当たらなければ何ももらえず、そこでオシマイ。
0834１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 18:23:340835１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 18:23:430836１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 18:27:170837１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 18:29:47理由は？
0838１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 18:34:04すまぬ、早とちりだった・・・。
0839１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 18:57:33当たりがひとつも出ない確率は{(n-1)/n}^n
少なくとも1回当たる確率は1-{(n-1)/n}^n
もらえる期待値3k[1-{(n-1)/n}^n]
R=3k[1-{(n-1)/n}^n]-2k=k[1-3{(n-1)/n}^n]
R>0のとき得
R=0のとき損得なし
R<0のとき損
あとはnの範囲を求める。ただ計算が大変。
0840１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 19:26:09{(n-1)/n}^nはnが大きくなるにつれ大きくなる。
n=5のとき3{(n-1)/n}^n=0.98304
n=6のとき3{(n-1)/n}^n=1.00469…
k>0を考えると
n=2,…,5のとき[1-3{(n-1)/n}^n]>0なのでR>0
n=6,…のとき[1-3{(n-1)/n}^n]<0なのでR<0
0841１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 19:40:340842１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 19:46:29(□/□□)+(□/□□)+(□/□□)=1
0843１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 19:56:070844１３２人目の素数さん
2006/07/21(金) 20:04:22正解。でも、電卓を使ったのなら
＞{(n-1)/n}^nはnが大きくなるにつれ大きくなる。
これは単なる「予想」にすぎないわけで、証明が要る。まあ
f(x)＝(1－1/x)^xを微分して増減を調べればよいわけだが。
>>841
{(n-1)/n}^n＝(1－1/n)^nだから1/e(≒0.368)に収束する。確率1/nのくじをn回連続で引けば、
かなり運が悪くない限り1回は当たりそうに感じるが、「1回も当たらない」確率は実際のところ
どうなっているのかと言うと(1－1/n)^n≒1/e≒0.368となっていて、実は結構な確率で「1回も
当たらない」ことになる。>>795の不等式を使うと1/e＞(1－1/n)^n＞(1/e)－1/{e(n－1)} になる
ことが分かる。
0845１３２人目の素数さん
2006/07/22(土) 03:27:18皆の衆、秋にまた会おう
0846１３２人目の素数さん
2006/07/22(土) 08:48:120847１３２人目の素数さん
2006/07/22(土) 09:33:09(Ip∩Iq)^i＝φ (p≠q)が成り立っているとする。ただしA⊂R^2に対してA^i＝(Aの内点の集合)
である。さらに、「Ikの縦の辺と横の辺のうち少なくとも片方は自然数である」が各k＝1～nに
対して成り立っているとする。このとき、Iの縦の辺と横の辺のうち少なくとも片方は自然数で
あることを示せ。
0848１３２人目の素数さん
2006/07/22(土) 10:13:460849１３２人目の素数さん
2006/07/22(土) 11:28:450850１３２人目の素数さん
2006/07/22(土) 19:05:300851１３２人目の素数さん
2006/07/22(土) 22:57:05Iの１つの頂点からその対角の点まで∂I_kに沿って進むことを考える。
分かれ道では自然数の道を取るようにする（設定上可能）。
どの道も自然数であれば題意は満たされている。
最後のT字路で自然数でない道を進ま無ければならなくなる場合もあるが、
そのときは、その自然数でない道に垂直なIの辺が自然数。
0852851
2006/07/22(土) 23:01:03ま、いいや。
0853851
2006/07/22(土) 23:04:29スレ無駄遣い失礼。
0854１３２人目の素数さん
2006/07/22(土) 23:16:59＞分かれ道では自然数の道を取るようにする（設定上可能）。
可能とは限らないのでは？長方形Iの左下の頂点から右上の頂点まで点Pが移動すると
して、途中でこういうT字路に出会ったら、Pは左右どちらの方向に進んでも無理数に
なっている可能性がある。
←←P→→
↑
↑
↑
0855１３２人目の素数さん
2006/07/22(土) 23:20:00┌┬┬─┐
││├┬┤
├┴┤││
├┬┴┼┤
│├─┤│
└┴─┴┘
Ｂ
┌─┐
└─┘
（１／２）×１。
0856１３２人目の素数さん
2006/07/24(月) 21:33:00天才的なひらめき募集
0～4と+-*/根号、累乗、階乗、括弧を利用して1000まで作ろうぜ
http://ex16.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1153548534/l50
0857１３２人目の素数さん
2006/07/26(水) 08:30:29・q＜pを満たすq∈Xが存在する
・x＜pならば、x＜y＜pを満たすy∈Xが存在する
このとき、次の2条件を満たすXの点列{pn}は存在するか。
・pn＜p(n＋1)＜p (n∈N)
・x＜pならば、x＜pmを満たすm∈Nが存在する
0858１３２人目の素数さん
2006/07/26(水) 12:56:230859１３２人目の素数さん
2006/07/27(木) 12:22:510860１３２人目の素数さん
2006/07/28(金) 18:29:350861たむ ◆Tamu.jIzZ.
2006/07/29(土) 12:39:25いまゴムひもの長さは1mあり、蟻が端から毎秒1㎝の速さで歩き始めるのと同時に、ゴムひもを毎秒1m伸ばす。
蟻は反対側の端にたどり着くことが出来るだろうか？
たどり着けないなら理由を、たどり着けるとしたら約何秒後かを求めよ。
0862１３２人目の素数さん
2006/07/29(土) 17:24:020863１３２人目の素数さん
2006/07/30(日) 09:16:390864１３２人目の素数さん
2006/07/30(日) 14:54:220865１３２人目の素数さん
2006/07/30(日) 18:11:37片方の端を固定してもう片方の端だけ引っ張るのでは、伸び方が違う。
0866１３２人目の素数さん
2006/07/30(日) 18:15:00同じでしょ。
0867１３２人目の素数さん
2006/07/30(日) 18:18:180869１３２人目の素数さん
2006/07/30(日) 19:38:32高校の物理を勉強してから来なさい、ぼうや…
0870１３２人目の素数さん
2006/07/31(月) 03:44:020871１３２人目の素数さん
2006/08/02(水) 12:21:36「正直族とうそつき族」の類似問題。これらは数学じゃないっぽいけど。
0872１３２人目の素数さん
2006/08/02(水) 16:07:440873１３２人目の素数さん
2006/08/02(水) 17:03:250874１３２人目の素数さん
2006/08/02(水) 17:11:390875１３２人目の素数さん
2006/08/04(金) 09:08:40宇宙の膨張を思い浮かべた
0877１３２人目の素数さん
2006/08/06(日) 02:18:34T：N→NをT(n)＝np/q ( q｜nのとき)，n＋r (それ以外のとき)
と定義すると、任意の自然数kに対して、数列{T^n(k)}(n∈N)は
発散しないことを示せ。ただしT^nはTのn回合成関数とする。
0878１３２人目の素数さん
2006/08/08(火) 23:17:15この山の上から順に1枚ずつカードをめくっていくのだが、毎回めくる前に、
次のカードが赤か黒かを予想する。
ただし、山の中に赤(黒)が多く残っている時は必ず赤(黒)と予想し、
同数の時は1/2の確率で赤or黒と予想するものと決める。
このようにして2n枚のカード全てをめくるとき、
予想が当たる回数の期待値を求めよ。
0879１３２人目の素数さん
2006/08/09(水) 18:12:59ように3つの点が配置できるときの、aの最小値を求め、理由も示せ。
・異なる2点間の距離は1以上である
(1)’一辺の長さがaの正三角形の内部または周上に、次の条件を満たす
ように4つの点が配置できるときの、aの最小値を求め、理由も示せ。
・異なる2点間の距離は1以上である
(2)一辺の長さがaの正方形の内部または周上に、次の条件を満たす
ように4つの点が配置できるときの、aの最小値を求め、理由も示せ。
・異なる2点間の距離は1以上である
0880１３２人目の素数さん
2006/08/11(金) 19:36:12前スレの320
0881１３２人目の素数さん
2006/08/16(水) 11:58:11(2)正三角形を合同でない二つの相似な図形に分割せよ
(3)円を合同でない二つの相似な図形に分割せよ
0882１３２人目の素数さん
2006/08/16(水) 11:59:000883１３２人目の素数さん
2006/08/16(水) 12:10:370884１３２人目の素数さん
2006/08/16(水) 12:50:000885king
2006/08/16(水) 16:01:590886１３２人目の素数さん
2006/08/16(水) 16:29:070887１３２人目の素数さん
2006/08/17(木) 13:04:03平面上で頂点の座標がすべて有理数にすることができる正多角形は正方形だけだったような。
0888１３２人目の素数さん
2006/08/17(木) 17:23:41正三角形の場合は禿ｶﾞｲ
0889１３２人目の素数さん
2006/08/17(木) 17:29:430890１３２人目の素数さん
2006/08/17(木) 17:39:080891１３２人目の素数さん
2006/08/17(木) 17:42:06空間の場合は？
さらに、n次元空間の場合は？
0892１３２人目の素数さん
2006/08/17(木) 17:45:10真理はkingが持ってるじょ
ゆるして、きんぽー☆
0893１３２人目の素数さん
2006/08/17(木) 18:14:51空間なら正三角形が書けるがな
n次元なら正n角形が書けるがな
0894１３２人目の素数さん
2006/08/17(木) 18:15:18ボーズ・アインシュタイン凝縮のせいで自然数との対応も微妙に
0895１３２人目の素数さん
2006/08/17(木) 18:16:13正方形も仲間に入れてやってくれ
0896１３２人目の素数さん
2006/08/17(木) 18:23:20ボーズ・アインシュタインに任せずに、数学を志す者なら
自ら「原子｣を定義し単位とする事がポイント。
0898１３２人目の素数さん
2006/08/17(木) 23:09:24それ本当？
3次元空間で(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)は正三角形になるけど、
4次元空間で(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)は正方形ではなく正四面体だよね。
つまりこの方法は高次元の場合に適用できない。
じゃあどうすればいいんだろう？
0899１３２人目の素数さん
2006/08/17(木) 23:28:520900１３２人目の素数さん
2006/08/18(金) 00:20:250901１３２人目の素数さん
2006/08/18(金) 00:39:504次元空間で(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)は正方形ではなく正四面体だよね。
4次元空間で(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)は正方形ではなく正四面体だよね。
4次元空間で(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)は正方形ではなく正四面体だよね。
4次元空間で(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)は正方形ではなく正四面体だよね。
0902１３２人目の素数さん
2006/08/18(金) 00:48:47何が言いたいの？
0903１３２人目の素数さん
2006/08/18(金) 00:49:370904１３２人目の素数さん
2006/08/18(金) 00:49:390905１３２人目の素数さん
2006/08/18(金) 00:58:520906１３２人目の素数さん
2006/08/18(金) 02:26:410907１３２人目の素数さん
2006/08/18(金) 02:47:410908１３２人目の素数さん
2006/08/18(金) 04:14:28もしそのような有理点の組が存在すれば、その重心も有理点であり、これを原点Oとしても一般性を失わない。
その正n角形の頂点のうち隣り合う2点A,BをとるとVec(OA)・Vec(OB)=OA*OB*cos(2π/n)だが、
Vec(OA)・Vec(OB)は有理数であり、またOA*OB=OA^2も有理数なので、cos(2π/n)も有理数となり矛盾。
cos(2π/5)は無理数なので有理点からなる正五角形は存在しないことがわかる。
ちなみに、OA=OBかつVec(OA)・Vec(OB)=OA*OB*cos(2π/n)を満たす2点A,Bが存在することは
有理点の頂点からなる正n角形が存在するための必要十分条件である。
必要性は明らか。次に、条件を満たすA,Bが存在したとして、十分性を示す。
直線OBの式はVec(OP)=t*Vec(OB)
この直線にAから下ろした垂線の足をHとし、Vec(OH)=k*Vec(OB)とすると
(k*Vec(OB)-Vec(OA))・Vec(OB)=0より
k=Vec(OA)・Vec(OB)/(OB^2)
これは有理数となるから、Hは有理点。
よって、Hに関してAと対称な点も有理点であり、この点は正n角形の第3の頂点となる。
同様に第4、第5…の頂点も有理点として得られ、有理点の頂点からなる正n角形が得られる。
0909KingOfUniverse ◆667la1PjK2
2006/08/18(金) 07:04:120910１３２人目の素数さん
2006/08/18(金) 17:34:000911１３２人目の素数さん
2006/08/18(金) 18:36:50明らか
0912１３２人目の素数さん
2006/08/18(金) 19:31:57俺には明らかじゃない。
0913１３２人目の素数さん
2006/08/18(金) 19:38:363本の直線は全部係数が有理数だから、どの2点の垂直二等分線もそうであり、
従ってその交点も有理点になる。でおｋ？
0914１３２人目の素数さん
2006/08/18(金) 20:11:093次元空間で垂直二等分線はひとつに定まらない。
0915１３２人目の素数さん
2006/08/18(金) 20:32:45んだけど、自力では示せそうに無い。もしこれが示せたら周上に3点の有理点を持つ円の中心は必ず有理点と言うことが出来るんだけど。
0916１３２人目の素数さん
2006/08/19(土) 17:30:283点を通る平面の（連立）方程式は有理的
（各方程式の係数が有理数に取れる）
からそこで考えればよい。垂直二等分線（面）の方程式も有理的。
0917１３２人目の素数さん
2006/08/20(日) 17:38:05どのnに対してもΣ[k<n]Ak^2 < K*An^2となるKが存在する時、
どのnに対してもΣ[k<n]Ak < K'*AnとなるK'が存在する事を証明せよ。
0918１３２人目の素数さん
2006/08/21(月) 17:19:41を満たす(xによらない)実数列{an}が存在することを示せ。
0919１３２人目の素数さん
2006/08/21(月) 20:53:04このゲーム木は高さｎの完全２分木であるとする。
このゲーム木をミニマックス法で探索するとこを考える。
ここでデータベースをつかって探索を高速化することを考える。
データベースにはあるひとつの局面につき結果（先手勝か後手勝ちか引き分けか）
をサイズＯ(1)で記憶することができ、計算量Ｏ(1)でその結果を得られるものとする。
データベースのサイズと各局面の探索の計算量の平均を
両方ｎの多項式サイズに収めることは可能か？
※データベースを作成するための時間は考えなくて良い。
答えは俺も知らん。
0920１３２人目の素数さん
2006/08/22(火) 20:05:15それができたらＰ＝ＮＰが示せそうな予感。
あくまで俺の直感だが。
0921１３２人目の素数さん
2006/08/22(火) 23:31:24もう一人が好きな方をとる、という方法が有名ですよね。では
1つのケーキをナイフで切って3人で分け合います。3人とも
「自分は元のケーキの3分の1以上をもらった」
と思えるように分けなさい。
ではどうですか？これガイシュツ？
（つーか何年か前は２ちゃんのどこかにあったんだよね。でもまだ知りたい人いるかなあと
思ってさ。ちなみにステインハウスって人が意外な方法を見つけたんだってね。）
0922１３２人目の素数さん
2006/08/23(水) 12:43:37(Σ[i＝1～n－1]Ai^2)/An^2＜K (∃K，2≦∀n∈N) → (Σ[i＝1～n－1]Ai)/An＜L (L＝K＋√(K^2＋K)，2≦∀n∈N)
が成り立つことを数学的帰納法で示す。なお、K＋2KL＝L^2，√K＜Lとなっていることに注意する。
n＝2のとき…(Σ[i＝1～n－1]Ai)/An＝A1/A2＜√K＜L となって、成立。2≦n≦tのとき成り立つとすると、
n＝t＋1のとき…{(Σ[i＝1～n－1]Ai)/An}^2＝{Σ[i＝1～t]Ai^2＋2Σ[1≦i＜j≦t]AiAj}/An^2
＝{Σ[i＝1～t]Ai^2＋2Σ[j＝2～t](A1＋A2＋…＋A(j－1))Aj}/An^2
＝{Σ[i＝1～t]Ai^2＋2Σ[j＝2～t](Aj^2)(A1＋A2＋…＋A(j－1))/Aj}/An^2
≦{Σ[i＝1～t]Ai^2＋2Σ[j＝2～t](Aj^2)L}/An^2
＜{Σ[i＝1～t]Ai^2＋2Σ[j＝1～t](Aj^2)L}/An^2
＜K＋2LK＝L^2
よって(Σ[i＝1～n－1]Ai)/An＜Lとなり、n＝t＋1のときも成立。数学的帰納法から、
(Σ[i＝1～n－1]Ai)/An＜L (L＝K＋√(K^2＋K)，2≦∀n∈N) は確かに成立する。
0923１３２人目の素数さん
2006/08/25(金) 21:07:44最初の人が２：１にわけ、
二番目の人が２の方を等分し、
三番目から逆に取っていく、というのを考えたんですが、
二番と三番が結託する可能性が排除できません．．．
0924１３２人目の素数さん
2006/08/25(金) 21:21:31この凸多角形Pの各辺に割りあてられた面積の和はPの面積の2倍以上であることを示せ。 2006IMO
0925921
2006/08/26(土) 16:55:39>>923
http://torito.jp/puzzles/308.shtml
の「ところで」から読んでみなされ。
0926１３２人目の素数さん
2006/08/26(土) 17:27:10全員が「自分は1/3以上」と思える分配ならそれほど難しくない。
（液体状の物を）全員が「自分は1位か1位タイ」と思えるように分配するのが困難で、
かつてスレが立って解決した。
http://makimo.to/2ch/science2_math/1060/1060272490.html
0927１３２人目の素数さん
2006/08/26(土) 20:15:31ムズイ
0928１３２人目の素数さん
2006/08/26(土) 22:00:42君はその問題を自力で解けたのかな？
0929１３２人目の素数さん
2006/08/26(土) 22:04:300930１３２人目の素数さん
2006/08/26(土) 22:17:320931１３２人目の素数さん
2006/08/27(日) 07:18:221＋2^x＋2^(2x＋1)＝y^2
(x，y)＝(0，2)，(4，23)で合ってる？
0932１３２人目の素数さん
2006/08/27(日) 08:55:00ヒント：yは負でもよい
0933１３２人目の素数さん
2006/08/27(日) 09:27:48オオウ…やっちまった。これなら合ってる？
(x，y)＝(0，±2)，(4，±23)
0934１３２人目の素数さん
2006/08/27(日) 22:02:440935１３２人目の素数さん
2006/08/27(日) 23:18:53y＞0としてよい。
x＞0のとき…x＝1のときは存在しないから、x≧2としてよい。このときyは奇数となるから
y＝2k＋1 (k≧0)とおける。y＝1のとき与式を満たすxは存在しないので、k≧1としてよい。
{1＋2^(x＋1)}2^x＝(y－1)(y＋1)＝4k(k＋1)となるので{1＋2^(x＋1)}2^(x－2)＝k(k＋1) …＊
となる。k，k＋1のうち片方は偶数である。
kが偶数のとき…k＋1は奇数なので2^(x－2)｜kとなり、k＝L*2^(x－2)とおけて、これを
＊に代入して変形すると(8－L^2)2^(x－2)＝L－1≧0 よってL^2≦8となり、L＝1，2となるが、
両方とも＊を満たさないことが分かるので不適。
k＋1が偶数のとき…kは奇数なので2^(x－2)｜(k＋1)となり、k＋1＝L*2^(x－2)とおけて、これを
＊に代入して変形すると(L^2－8)2^(x－2)＝L＋1 となるが、L^2－9＜(L^2－8)2^(x－2)＝L＋1＜L＋3
よりL－3＜1つまりL≦3となるので、L＝1，2，3となるが、＊を満たすのはL＝3のときのみで、このとき
x＝4，y＝23となる。よって、x＞0のときは(x，y)＝(4，23)のみ。
x＝0のとき…y＝±2となり、(x，y)＝(0，2)
x＜0のとき…z＝－x＞0とおけば、与式は2＋2^z＋2^(2z)＝(y^2)2^(2z)と
変形でき、両辺2で割って1＋2^(z－1)＋2^(2z－1)＝(y^2)2^(2z－1)となる。
右辺は偶数だから左辺もそうであるが、左辺が偶数となるには2^(z－1)＋1が
偶数でなければならず、よってz＝1となるしかない。このとき4＝2y^2となって
y＝±√2となり、不適。
以上より、(yが負のときも入れて) (x，y)＝(0，±2)，(4，±23)
0936１３２人目の素数さん
2006/08/29(火) 05:26:40なんでyは奇数としていいのですか？
0937１３２人目の素数さん
2006/08/29(火) 05:55:150938１３２人目の素数さん
2006/08/29(火) 06:45:070939１３２人目の素数さん
2006/08/30(水) 17:51:110940１３２人目の素数さん
2006/08/30(水) 18:11:580941１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 03:48:37Iの底辺に接している長方形のうち、縦の長さが自然数である長方形を任意に選ぶ。
その選んだ長方形の縦の長さをLとする。（そういう長方形が無い場合はIの底辺は自然数になっている。）
次にIを底辺から高さLのところで切り、残ったものをI'とする。
I'の底辺に接する長方形の中には切り取られて小さくなった長方形もあるが、どれも、1つの辺は自然数という性質はそのままになっている。
この操作をI'',I'''と繰り返していく。
途中で終わったら（底辺に接する長方形に縦が自然数のものが無くなったとき）Iの底辺が自然数。
最後まで切り取ることが出来たら（Iの高さは有限）Iの高さが自然数。
0942１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 03:57:550943１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 04:07:20やっぱまずいな。わかんね。
0944847
2006/08/31(木) 04:38:18解答：Ik＝[ak，bk]×[ck，dk] (k＝1～n)と表記しておく。I＝[0，a]×[0，b]
としてよい。さて、I上でf(x，y)＝exp(2πix＋2πiy)を重積分する。このとき
∫∫(I)f＝Σ[k＝1～n]∫∫(Ik)fが成り立つが、フビニの定理から
∫∫(Ik)f＝∫[ak，bk]exp(2πix)dx∫[ck，dk]exp(2πiy)dy
＝{exp(2πi(ak＋ck))}{exp(2πi(bk－ak))－1}{exp(2πi(dk－ck))－1}/(2πi)^2
＝0 (k＝1～n)
が成り立つ。なぜなら、k＝1～nについて、bk－akかdk－ckのうち
どちらか一方は自然数だから。よって、∫∫(I)f＝Σ[k＝1～n]0＝0
となり、これと∫∫(I)f＝{exp(2πia)－1}{exp(2πib)－1}/(2πi)^2
から{exp(2πia)－1}{exp(2πib)－1}＝0を得るので、aかbのうち
一方は自然数となる。
Ikについての条件を
・各Ikに対して「Ikの縦の辺と横の辺のうち少なくとも片方は有理数である」
に変えると、
・Iの縦の辺と横の辺のうち少なくとも片方は有理数である
ことが示せる(この解法を応用すればよい)。
0945１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 07:09:460＜p＜1とする。実数列{an}(n＝0，1，2，…)がα∈Rに収束するとき、
lim[n→∞]Σ[i＝0～n－1]ak*p^(n－k) を求めよ。また、なぜその値に
なるのかも証明せよ。一般に、実数列{bn}に対して級数{Σ[i＝1～n]bi}(n∈N)が
絶対収束するとき、lim[n→∞]Σ[k＝0～n－1]ak*b(n－k) を求めよ。
また、なぜその値になるのかも証明せよ。
もしかしたら俺の方が間違っていて、極限が存在しない例が存在する
可能性もあるので、挑戦しようと思う人は気をつけて(＾＾；
0946１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 07:11:59a[n+2]=a[n+1]+a[n]
特性方程式を使って
a[n]=Pα^n+Qβ^n…①
とおいて(勿論α,βは特性方程式の解)a[1],a[2]を代入、係数比較をしてP,Qを求めるのが早いです。隣接２項間漸化式の一般項が①の形になる事を証明しなければ記述には使えませんが。普通に等比数列作って引き算して出す時は突然３乗を計算するというテクニックが要ります。
0947１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 10:13:43もっと簡単な解法もあるよ。
Iを縦と横に1/2の間隔の平行線で区切り、黒と白の市松模様に塗り分ける。
各Ikにおいて、1辺が整数であることから黒と白の面積は等しい。
よってIも黒と白の面積が等しくなることから、Iの1辺は整数である。
「有理数」の場合、全体を整数倍してIkがそれぞれ整数の辺をもつようにすれば、上の方法が適用できる。
0948１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 11:17:00>>947
一つの本に両方出ているのを読んだ記憶がある。
0949１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 11:25:05何に載っているのか書けよ！
とくに >>944！
自分でその本を読んでみたいんだよ！ ヽ(`Д´)ノ ｶﾞﾛｧ！
0950１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 11:37:38立ち読みしただけで、本のタイトルは覚えてない。ちなみに、その本には他にも
・正方形を、有限個の小さな正方形(ただし大きさは全て異なるようにする)に分割することは可能か？
という問題もあった。答えはYESなんだけど、その証明には なんと電気回路が出てきて、抵抗は全て1Ωで、
キフヒホッフの法則から云々とかやって証明してた。正方形の分割と電気回路が対応するらしい。
図形の三角形分割からホモロジーを求めるような感じか。
0951947
2006/08/31(木) 11:51:13何で読んだかは覚えてないけど、
>>944みたいな解答は「蟻を大砲で撃つようなもの」（表現は違ったかも）であって、
問題のレベルに相応しい解答として>>947が紹介されていたと思う。
0952947
2006/08/31(木) 12:12:58>>947と似てると思うんだけど、>>947を難しく言い換えると>>944になるってことなのかな？
0953１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 15:10:34サンクス！
んじゃ問題。
3個の箱A, B, Cがある。そして、いずれかの箱に100万円が入っていて、他の箱には何も入っていない。
あなたは箱を1個を選び、選んだ箱に入っているお金をもらえるとする。
例えばあなたが箱Aを選んだとする。（箱Aはまだ開けない）
どの箱にいくら入っているかを知っている私は、箱B、箱Cのうち空の箱を開ける。(２つとも空の時、箱B、Cを開ける確率は2分の1)
この時点でまだ開けていない2個の箱から、あなたが1個選べるとするとき、また箱Aを選ぶべきか、それとも選択を変えるべきだろうか。
0954１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 15:31:47箱B,Cのうち空の箱を開けたということは、B,Cをひとつの箱にまとめたのと同じ。
だからその時点でAでないほうの箱に2/3の確率で100万円が入っている。
0955１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 15:58:51>>954その考え方いいね！自分は単純に『Aに100万入ってる確率』が1/3だから。ってやったけど結局は同じ事言ってます。
0956１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 16:25:42正解！これは簡単だったかな。
次も簡単。
ある国では女子の出生率を増やすために『女子を産んだ夫婦はさらに子供を産んでもよいが、男子を産んだ夫婦はもう子供を産んではいけない』
という法律を作ったとする。この国の男女の比率はどうなるか。
0957１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 16:28:520958１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 16:33:550959957
2006/08/31(木) 16:36:51はい、そうですね。
子供を生むには男女必要ですものね。
女子が一方的に増えるわけじゃないんだね。
一夫多妻だったりすると、違う答えになるのかな？
0960１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 17:02:20正解です！
１ ２ ３ ４ ５ ６
男→×
女→男→×
→女→男→×
→女→男→×
→女→男→×
これの繰り返しです。つまりは1:1
>>959
一夫多妻を一つの夫婦とするということですか？
0961１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 17:34:21一夫多妻を一つの夫婦とするということです。
0962１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 17:37:040963１３２人目の素数さん
2006/08/31(木) 17:43:35「一夫多妻」女性１０人同居 ５７歳男性
という事件もありましたし、
仮に１０人ならどうなるでしょうか？
0964１３２人目の素数さん
2006/09/01(金) 04:03:480965１３２人目の素数さん
2006/09/04(月) 18:41:47連続する奇数の素数は17・19や41・43など多数存在するが
３連続する奇数で三つとも全て素数の並びは
存在するか？しないか？
存在するなら有限か？無限か？
0966１３２人目の素数さん
2006/09/04(月) 21:33:20∃x(x≠1,2 and P(x) and P(x+2) and P(x+4))の真偽を
自然数の公理から導けるプログラムを作ればいいんです！
0967１３２人目の素数さん
2006/09/04(月) 23:44:34する
3,5,7
n,n+2,n+4のうちどれか一つは3の倍数
3の倍数が素数になるには3しかない。
よってn=3の場合だけ。
0968１３２人目の素数さん
2006/09/05(火) 09:46:00まず1人目の王子には1個と残りの7分の1を取らせ、
次に2人目の王子には2個と残りの7分の1を取らせ、
次に3人目の王子には3個と残りの7分の1を取らせ、
これを最後の王子まで続けたところ、全てのダイヤモンドがちょうど無くなった。
(1) ダイヤモンドは何個あったか？
(2) この問題において、じつは「7分の1」という数は必然的なものではない。
その理由をエレガントな方法で説明せよ。
0969１３２人目の素数さん
2006/09/05(火) 10:06:39重要な一文が抜けていたので、追加。
「王子たちがもらったダイヤモンドの個数は全員同じだった。」
0970１３２人目の素数さん
2006/09/05(火) 11:52:51n-1人目は(n-1)+(7n/6)*1/7もらう
n=n-1+n/6 n=6
王子は6人居てダイヤモンドは36個あった。
0971１３２人目の素数さん
2006/09/05(火) 18:12:43正解！
(2)の意味をもう少し補足。
問題文の「7分の1」の部分を「8分の1」や「9分の1」などに置き換えても、
つまりnを7以外の2以上の自然数として「n分の1」に置き換えても問題が成立する。
この理由を説明せよということ。
ただし>>969の条件が成り立つことも含めて説明する必要があるので注意。
直観的に納得のいく説明が望ましい。
0972１３２人目の素数さん
2006/09/05(火) 18:16:46>>969の一文が無くても>>968は問題として成立するか？
（答えは知らないが、ひょっとして難問か？）
0973１３２人目の素数さん
2006/09/05(火) 20:28:15１番目の王子が １個と残りの1/7をもらった。
王子はひとりっこだった。
0974１３２人目の素数さん
2006/09/05(火) 21:04:01ということで。
0975１３２人目の素数さん
2006/09/06(水) 00:25:111人目 x=1+(y-1)/n
2人目 x=2+(y-x-2)/n
連立方程式を解くと
x=n-1 , y=(n-1)^2
0976972
2006/09/06(水) 03:00:22おそらくそう返ってくるだろうと思っていたが
だとすると>>971の
「つまりnを7以外の2以上の自然数として」は
3以上に修正しないと不味いのではないか？
0977１３２人目の素数さん
2006/09/06(水) 15:43:43うん、その通り。
>>976
なるほど。
では、>>968の4行目を削除。
ていうか>>972書いたの俺なんだけどｗ
しかし出題しといてなんだが>>968の(2)はあんまり面白くないかもね。
一応模範解答は用意してある。
0978976
2006/09/06(水) 17:52:26>>976は973が書いた。
>>972 は残りの取り分が一般に1/n (n:n>2)の時だとダメ
というか解がひとつに定まらないnがあるようだな。
n=7の場合は解がひとつになりそうな気はしてるんだが‥
もすこし考えてみる。
0979１３２人目の素数さん
2006/09/06(水) 23:14:280980１３２人目の素数さん
2006/09/07(木) 00:11:07なんで？
0981１３２人目の素数さん
2006/09/07(木) 02:01:29↓ ↓ ↓
ＩＭＯ １９７１の３
ＩＭＯ １９９０の６
ＩＭＯ １９９２の５
ＩＭＯ １９９３の３
ＩＭＯ １９９４の６
ＩＭＯ １９９５の６
ＩＭＯ １９９９の３
ＩＭＯ ２０００の３
ＩＭＯ ２００１の３
ＩＭＯ ２００２の６
ＩＭＯ ２００３の３
ＩＭＯ ２００４の３
ＩＭＯ ２００６の６
0982１３２人目の素数さん
2006/09/07(木) 05:03:030983１３２人目の素数さん
2006/09/07(木) 07:10:00http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
0984１３２人目の素数さん
2006/09/07(木) 11:49:0298さん御苦労
0985１３２人目の素数さん
2006/09/07(木) 23:47:07最後は必ずm番目の王子がm個のダイヤモンドをもらって終わる。
王子は2人以上の場合、最後の王子から数えてk人の王子のもらったダイヤモンドの合計をS_kとすると
S_{k+1}=(m-k+1)+nS_k/(n-1)
S_k=(n-1)(n-1-m+k+(m-n+1){(n/(n-1))^k})
ダイヤモンドの合計S_mは
S_m=(n-1)(n-1+(m-n+1){(n/(n-1))^m})
n=2ならば任意のmでS_mは整数になる。
n≧3の時は、m-n+1=0の時以外は整数にならない。
0986１３２人目の素数さん
2006/09/08(金) 11:01:190987１３２人目の素数さん
2006/09/08(金) 11:45:21適当な数字を代入して確認してみたけど、式が合ってないような気がす。
0989１３２人目の素数さん
2006/09/09(土) 11:01:190990１３２人目の素数さん
2006/09/10(日) 02:03:590991１３２人目の素数さん
2006/09/10(日) 08:37:390992１３２人目の素数さん
2006/09/10(日) 11:01:190993１３２人目の素数さん
2006/09/10(日) 11:19:250994１３２人目の素数さん
2006/09/10(日) 12:40:450995１３２人目の素数さん
2006/09/10(日) 23:17:430996１３２人目の素数さん
2006/09/11(月) 01:41:260997１３２人目の素数さん
2006/09/11(月) 05:33:520998１３２人目の素数さん
2006/09/11(月) 05:34:330999１３２人目の素数さん
2006/09/11(月) 05:35:161000小西真奈美
2006/09/11(月) 05:35:571001１００１
Over 1000Threadもう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。