1-4　ｋを無限体、Ｆ∈ｋ［ｘ1、ｘ2、・・・ｘｎ］とする。ＦがＡ＾ｎ上恒等的にゼロである時、
Ｆはゼロ多項式である事を示せ。

帰納法による証明

①F∈ｋ[x1]の時は明らか。（無限個の零点を持つ一変数多項式はゼロ多項式のみ）

②F∈ｋ[x1,x2,・・・x(n-1)]の時主張が成り立つと仮定する。

③F∈ｋ[x1,x2,・・・xn]　とする。Ｆが恒等的にゼロでゼロ多項式でないとして矛盾を導く。

Ｆはゼロ多項式でないので、xnに関して整理する。ゼロでない係数ci(xnのi次の係数)をとる。
ci∈ｋ[x1,x2,・・・x(n-1)]なので仮定によりciは零点でない点（a1,・・・,a(n-1)）を持つ。
（a1,・・・,a(n-1)）をＦに代入すればｋ上のxnの多項式Ｆ’がえられる（Ｆ’はゼロ多項式でない）。
Ｆ’はｋ上の一変数のゼロでない多項式なので、零点でない点anを持つ（零点は有限、ｋは無限体）。
（a1,・・・,a(n-1),an）はＦの非零点。これはＦの定義に反する。