漏れも塾で高２ぐらいに教えたりするしな。まず
x∈f^-1(C)⇔f(x)∈C、
y∈f(A)⇔∃x∈A,f(x)=y
であることを思い出せ。
あとは集合の包含関係をどうやって証明するか？を思い出せ。