>>686の解答で
「ＡはコンパクトなのでＡ=∪(λ∈Λ)ｕλとするとき、任意のｕλ(λ∈Λ)は有限部分開被覆をもつ
同様にＢ=∪(λ∈Λ')ｕλとするとき、任意のｕλ(λ∈Λ')は有限部分開被覆をもつ
このときＡ∪Ｂ=∪(λ∈Λ∪Λ')となり、任意のｕλ(λ∈Λ∪Λ')は有限部分開被覆をもつ
∴Ａ∪Ｂはコンパクトである」
どうでしょうか？