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f(x) = ax^2 + bx + c とおくと
∫[-1,1]f(x)dx = [ (a/3)x^3 + (b/2)x^2 +cx ](x:-1→1) = (2/3)a + 2c.
f(α) + f(β) = a(α^2+β^2) + b(α+β) + 2c.
∴ α^2 +β^2 =2/3, α+β=0.
∴ (α,β) = ±√(1/3)　となって、しめされますた。

ガウスの数値積分法 とか言うらしいyo．．．

http://mathworld.wolfram.com/Legendre-GaussQuadrature.html