>>933
レベルというよりもやっていることが違うので，並行して色々読んだ方がよろしいかと思う．まず，枡田さんの『代数的トポロジー』をまず最初に読んでみては？
特異（単体的複体の）ホモロジーとコホモロジーについて，コンパクトにまとまっています．

田村さんのは単体的複体の（コ）ホモロジーのみが書かれた本です．枡田さんのを読んだあとに必要箇所だけ読めば充分でしょう．
英語の本だと，Hatcherさんの『Algebraic Topology』が公開されているので参考までに．
http://www.math.cornell.edu/~hatcher/

これらの本を読むと，位相多様体の”穴”の数のような，位相的な量を知ることが出来ます．
ボット・トゥーは，相当大雑把にいえば，微分形式たちから多様体のこれら位相的な量を計算する話です．
上にある入門書である程度トポロジーの基礎を身につけてから読んだ方がより良いと思います．

フルトンは楽しい本ですが，講義形式で少し冗長な印象があります．
上記の本を読めばほとんどの部分をカバーできるので，あえて読む必要は無いかも（重複しないのはリーマン・ロッホくらいかな，でもそれはまた別の本で読めばいい．たとえばForster：Lectures on Riemann Surfacesとか）．