高校生ですが、トポロジーの入門書をよんでいて、解説に
わからない点が有るのでお教え願います。
開集合の解説として以下のように書いています。(講談社『やさしいトポロジー』から引用します。)

いまXを、位相空間とする。このときXの部分集合Aが開集合であるとは、
Aのかってな点aに対し、aの近傍UでAにふくまれるものがあることとする。
つまり、ユークリッド空間に即して言えば、境界点を持たないという事である。

(引用終わります。)
と言う説明が有るのですが、部分集合Aの任意の点aは既にAの内部または、境界
に存在するので、aの近傍Uは必ずAに含まれる部分を持っていると思うのですが.
それが、Aが境界点を持たない事と結びつく所がちょっとわかりません。
もう少し、噛み砕いて解説頂けると幸いです、よろしくおねがいします。