path homotopyの積がwell-definedになると言う問題はどのようにして

(X,T)を位相空間とし,f,gを[0,1]→Xへのpath(f([0,1])⊂Xで[0,1]で連続)とする。
fとgがpath homotopicとは
H(s,0)=f(s),H(s,1)=g(s),H(0,t)=x_0,H(1,t)=x_1なる
連続写像H:[0,1]×[0,1]→Xが存在することです(この時のHをhomotopyと呼ぶ)。
つまり,f,gはX内でのpathで始点と終点が一致しているpathです。

その時,f〜gと表記する事にする。
そして[f;x_0,x_1]:={f';f〜f',x_0が始点,x_1が終点}をpath classと呼ぶ。

そして,2つのpath f,gにおいてfとgの始点,終点を夫々,x_0,x_1,y_0,y_1とすると
x_1=y_0の時(つまりfの終点とgの始点が同じ点),
f*g:=

f(2s) (0≦s≦1/2の時)
g(2s-1) (1/2≦s≦1の時)

と定義する。

この時,この"*"はwell-definedになると言う問題(知り合いから聞いた問題なので聞き間違いかもしれません)なのですがどのようにして示せますでしょうか?
多分,f,f'∈[f;x_0,x_1],g,g'∈[g;x_1,x_2]の時,f*g=f'*g'が成り立つ事を言えばいいのだと思います。

でも,実際に∀s∈[0,1],f*g(s)=
f(2s) (0≦s≦1/2の時)
g(2s-1) (1/2≦s≦1の時)
と書け,これから
=f'*g'(s)に持っていけません。
well-definedの意味を勘違いしているのでしょうか?

トポロジーにお詳しい方よろしくお願い致します。