> 商写像の定義ってｑが全射で、t∈T_r→q^-1(t)∈T_a 、ｓ∈T_a→ｑ(s)∈T_r
> で良いの？
> よく知らないでレスするのもなんだが。

「qは全射で,t∈T_r⇔q^-1(t)∈T_a」が定義となります。

q^-1(2^R)の元q^-1(t) (t∈2^R) でq^-1(t)∈T_aとなっていればt∈T_rになっていると言う事が示せません。
q^-1([0,1))として
http://beauty.geocities.jp/noname45754/topology/figure0.jpg
が考えられ,確かにこの場合はq^-1([0,1))∈T_aとなっています。

しかし[0,1)はT_r (T_rはRの通常の位相)の元になっていません。