X
↓f・π
Z

X
↓π
Y

Y
↓f
Z

という可換図があって(f・πはfとπの合成写像)

「全射π:X→Yが商写像⇔characteristic propertyを保つ」

という説明があったのですがcharacteristic propertyって何なのでしょうか?

商写像とは
「(X,T)を位相空間とし,Tからπによって誘導されるY上の商位相空間を(Y,S)とする時,
πが商写像⇔∀t∈T,f(t)∈S」
の事です。