大学院入試問題[４時間３０分]

Ⅰ．Ｎ∋∀ｎに対して、Ｕ＝｛ｘ∈Ｎ｜ｎ＜ｘ＜2(ｎ＋１)｝が
　　必ず素数ｐを元として含む事を示せ。

Ⅱ．複素数係数のｎじ方程式Σ[i=,n]a_ix^i=0, a_i,x∈Ｃが、ｎ個の
　　複素数の根を持つ事を、２つの別々の方法で証明せよ。

Ⅲ．ポントリャ－ギンの双対定理を、２つの別々の方法で証明せよ。
　　また、この定理が数学の構造の中で重要な位置を占める理由を
　　一般論でも具体的に双対定理が使われる例を踏まえても、自身の
　　判断で、その考える処を述べよ。

Ⅳ．微分方程式において、モノドロミーに関して自身の知る所と
　　考える所、もし自身の予想または証明した定理などがあるならば、
　　それも踏まえ、微分方程式とモノドロミーに関して、自由に述べよ。