Let V be a finite dimensinal space over R,and let <,> be a scalar product on V.
Show that V admits a direct sum decomposition. V=V_p(+)V_n(+)V_0,
where V_0:={v∈V;∀w∈V,<v,w>=0},positive define V_p:={v∈V;<v,v>>0,v≠0},negative define V_n:={v∈V;<v,v><0,v≠0}.
Show that the dimensions of the spaces V_p,V_n are the same in all such decompositions.

と言う問題です。(+)は直和の記号です。scalar productの定義はは
(i) <v,w>=<w,v>, (ii) <u,v+w>=<u,v>=<u,w>, (iii) <cu,v>=c<u,v> 且つ <u,cv>=c<u,v> です。

前半はV=V_p(+)V_n(+)V_0という直和分解が成り立つ事を示せばいいのだと思います。
∀v∈Vに対し,<v,v>>0か<v,v><0か<v,v>=0かが成り立つのでV⊂V_p+V_n+V_0.
そして,V_p,V_n,V_0それぞれの定義からV_p∩V_n=V_n∩V_0=V_p∩V_0={0}.
よってV=V_p(+)V_n(+)V_0.

後半は「V_pとV_nの次元はそのような全ての直和分解と同じである」
という意味かと思いますがいまいち何を示せばいいのかわかりません。
これはどうればいいのでしょうか?