>>79
1+tanθ=(cosθ+sinθ)/cosθ=(√2)cos((π/4)-θ)/cosθから
log(1+tanθ)=log(√2)+log(cos((π/4)-θ))-log(cosθ)
となるので、
∫[0,π/4]log(1+tanθ)dθ
=∫[0,π/4]log(√2)dθ+∫[0,π/4]log(cos((π/4)-θ))dθ-∫[0,π/4]log(cosθ)dθ
ここで(π/4)-θ=tと変換すると
θ=0→t=π/4,θ=π/4→t=0,dθ=-dtから
第２項は
∫[0,π/4]log(cos((π/4)-θ))dθ=∫[π/4,0]log(cost)(-dt)=∫[0,π/4]log(cost)dtとなるので
第３項と打ち消すから
∫[0,π/4]log(1+tanθ)dθ=∫[0,π/4]log(√2)dθ= (π/8)log2