まちがって途中送信してしまいました・・・。
>>270-273様ご返答ありがとうございます。

すみません。逆に複雑な問題に帰着させてしまってるようです。
もともとの発端は、
「（ｘ、ｙ）座標がランダムな3点A(xa,ya),B(xb,yb),C(xc,yc)がある。
その他に、未知座標の点S(xs、ys)があり、その点からの各点ABCの距離の差が分かっている。
ASの距離-BSの距離＝P　　・・・(1)
ASの距離-CSの距離＝Q
BSの距離-CSの距離＝R
という条件下でその交点を求める、という問題でした。
つまり、それぞれの焦点はもう分かっていて、双曲線のうちの片方しか出力されない、という条件です。
これを単純に各交点を数式として表すことができれば。と思ったんですね。
>>273
解いた部分を書くとなると非常に分かりにくくなるので、実際にやったことを簡潔にまとめてみます。
まず(1)の場合のみを考え、各点を極座標で表し、アークコサイン、アークタンジェント、等を駆使して未知座標(xs,ys)を
ASの距離をL_ASとして、それを用いて表し、
xs=f(L_AS)
ys=g(L_AS)
で表すことができた、という程度です。
つまり、曲線自体はかけたけど、それを全事象でグラフ表示して、視覚的に交わった部分を出力、
という処理を行わなければならなかった、ということですね。
ここに関しては、もうすこし簡略化できそうですけど・・・

(x、y)座標のみで表すと、ルートや、先ほどおっしゃられた4次方程式など非常に混在して出てきて、
解けるような問題にはなりそうにもなかった、という感じです。

読みにくい＆理解しにくい文で申し訳ないですorz