非可算無限ってことはそもそも文字が無限個あるってことだけども、、

モデル論とかではそういう状況も考えますよ

でも現実に我々が日常言語を話したり論理式を書いたりするときは
文字は有限個しか使わない訳で、、

帰納的可算（帰納的に生成可能）でないというのは、例えば
証明できる命題をすべて（具体的にどういう命題が証明できて
どういうのが出来ないかは分からないけど）公理として加えてしまったような
状況を考えると分かりやすいかと、、
そういうのは反則だろ！ってのが一般的な感覚かな、と