>>530
まずゲーデルの不完全性定理が成り立つ為には
ロビンソン算術を含めばいい。これには数学的帰納法は含まれない。
なお、ロビンソン算術ではゲーデル以前に、そもそも
結合法則や交換法則が一般に証明できない。

次に、公理が無限個であっても、それが帰納的に生成可能ならば
やはりゲーデルの不完全性定理はなりたつ。
必要に応じて、公理を付加していくのは結構だが、それぞれは
独立の行為なので、それを無限回行うというのは現実的でない
なんらかのアルゴリズムで統制するとなると、その記述の
有限性からやはりゲーデルの不完全性定理が成り立ってしまう。

最後に数量化以前の理論についてはよく知らない。