a=b ⇔ ∀x(x⊆a ⇔ x⊆b)
これは結局
a=b ⇔ ∀x(∀y(y∈x → y∈a) ⇔ ∀z(z∈x → z∈b))
こうしなきゃいけないってことなのかな？

数少ない記号で公理を書き上げるのが重要なのかもしれないけど、
http://www-ise2.ise.eng.osaka-u.ac.jp/~iwanaga/study/set/axiom.html
べき集合の公理で"⊆"を使っているし、正直全然ワカランなあ。