>>532
同値:一方の距離で定義した開集合が、他方でも開集合
でいいのかな。

だとすれば、d'を使った距離で開球を書いてみるとわりやすいのでは。
d'は、２点が同一（反比例）双曲線上にあるときは通常の距離で、
それ以外の点では、直角に移動して距離をはかるもの。
例えば、点(x0,y0)を中心とした半径εの円を書くと、
(x0,y0)を通る双曲線上の点は、半径εの"円"内が開球に含まれ、
それ以外の点は、直径εの正方形内が開球に含まれる。
見た感じ、dでは開集合ではない。