>>22
ｎ次元球の体積VnをVn＝Anｒ^(n)とします。dVn＝Sndr＝nAnr^(n-1)dr。R^n∋x＝(x1,x2,･･･,xn), |x|＝ｒ＝√(x1^2+x2^2+･･･+xn^2)。
●∫[-∞,+∞]exp[-(x1^2+x2^2+･･･+xn^2)]dVn＝{∫exp[-x]dx}^(n)＝π^(n/2)
●∫[-∞,+∞]exp[-(x1^2+x2^2+･･･+xn^2)]dVn＝∫[0,+∞] exp[-r^2]nAnr^(n-1)dr＝nAn∫[0,+∞] exp[-r^2]r^(n-1)dr
【ここで,　≪≪∫[0,+∞]exp[-x]x^(p-1)＝Γ(p)＝(p-1)!≫≫　なので,　r^2=t, (r=t^(1/2))　と置いて, 2rdr=dt, dr=(1/2)(1/r) dt
　　exp[-t]{t^(1/2)}^(n-1) (1/2)(1/t^(1/2)) dt = exp[-t]{t^(1/2)}^(n-2)dt = exp[-t] t^(n/2-1)dt 】
∫[-∞,+∞]exp[-(x1^2+x2^2+･･･+xn^2)]dVn＝nAn∫[0,+∞]exp[-t] t^(n/2-1)dt ; p=n/2から,
＝nAnΓ(n/2)＝nAn(n/2-1)!
●nAnΓ(n/2)＝π^(n/2)　⇒　An＝π^(n/2)/[nΓ(n/2)] ⇒　Sn＝nAnr^(n-1)＝π^(n/2)r^(n-1)/[Γ(n/2)]