>>21
↓(2)はこれでいいんでね？
まず補題としてfが凸関数、aを実数とすると関数g(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)はx>aで単調増大になる。
じっさいc>b>aをとると点(b,f(b))は(a,f(a))と(b,f(b))を結ぶ直線の下にあるのでg(b)>g(a)。
で(2)はa<bでf(a)<f(b)となるものが存在すると仮定して一般性をうしなわない。
さらにa=0、f(a)=0、b=1、f(b)=1としてもよい。するとx>1で点(x,f(x))は直線y=xより上にあるので
f(x)は有界でない。