>>905
f(x)=8x^3-6x+1としてy=f(x)のグラフを描くとf(x)=0の3つの解は全て実数で
しかも絶対値が1より小さいことがわかるから、無限級数が収束してSが定まることは確かだ。
α,β,γはf(x)=0の解だから8α^3-6α+1=0よって8α^(n+3)-6α^(n+1)+α^n=0などが言え、3つ足し合わせれば
8(α^(n+3)+β^(n+3)+γ^(n+3))=6(α^(n+1)+β^(n+1)+γ^(n+1))-(α＾n＋β＾n＋γ＾n)
が言える。従って
8S
=8*3+8(α+β+γ)+8(α^2+β^2+γ^2)+8Σ{n=3,∞}(α＾n＋β＾n＋γ＾n)
=24+8(α+β+γ)+8(α^2+β^2+γ^2)+6Σ{n=1,∞}(α＾n＋β＾n＋γ＾n)-Σ{n=0,∞}(α＾n＋β＾n＋γ＾n)
=6+8(α+β+γ)+8(α^2+β^2+γ^2)+6S-S
S=2+(8/3)(α+β+γ)+(8/3)(α^2+β^2+γ^2)
後は解と係数の関係を使って具体的な値を求めればよい。