exponentialの概念ってどこから出てきたのですか？

底がeの対数log(x)をxで微分すると、1/xになりますね。
lim[h->0] (log(x+h)-log(x))/h
lim[h->0] log(1+(h/x)^(1/h))
h/x = t と置くと、 h->0、t->0
lim[t->0] log(1+t)^(1/(tx))
lim[t->0] (1/x)*log(1+t)^(1/t)
で、まぁ lim[t->0](1+t)^(1/t) = e と暗記いしているから、結局与式は1/xになるわけですが、
「lim[t->0](1+t)^(1/t) = e」そもそもこれって何なのですか？

私は情報関係の学科にいるので、この辺は使えてしまえば問題無いのですが、
気になったので質問します。色々と調べてみましたが、納得できるものはありませんでした。
お願いします。