定義
A を必ずしも可換とは限らない環で、次の条件を満たすとする。
1) A = ΣA_p (直和) となる。ここで、p は有理整数全体をわたり、
A_p は A を加法に関してアーベル群とみたときの部分群

2) (A_p)(A_q) ⊂ A_(p+q)

このとき A を(Z型の)次数環という。
p < 0 のとき A_p = 0 となるとき、非負の次数環という。

同様に、Z の n 個の直積を添字集合として、Z^n 型 の次数環
も定義される。