A_S を圏論的に特徴つけると以下のようになる。

可換環の圏を Ring と書く。
A を環、SをAの積閉集合とする。
B を環としたとき、
F(B) = {f ∈ Hom(A, B); f(S)の任意の元は可逆 } とおく。
対応 B → F(B) により、Ring から集合の圏 Setへの共変関手 F が
得られる(確かめよ)。
F は A_S により表現可能である。
つまり、関手 B → Hom(A_S, B) は 関手 F と標準的に同型になる。

これを、噛み砕くと
f ∈ F(B) に対して、g∈ Hom(A_S, B) で、gφ = f となるものが
一意に存在する(図を書くとよくわかる)。

ここで、φ: A → A_S は a ∈ A に a/1 ∈ A_S を対応させる標準射。