命題
A を単項イデアル整域、p を A の素元、M を p-加群(>>680)
とする。 M は、単項 p-加群つまり一個の元で生成される
p-加群の直和となる。

証明
M は長さ有限(>>671)だから、leng(M) に関する帰納法を使う。
x を M の元で、その指数 n が M の元のなかで最大のものとする。
M の各元の指数は>>684より有界だから、このような元は存在する。
leng(M/Ax) < leng(M) だから、帰納法の仮定より、M/Ax は
単項 p-加群 の直和となる。これらの単項 p-加群の生成元を
それぞれ y_1 (mod Ax), ... , y_r (mod Ax) とする。
補題(>>689) より、y_i の指数は、y_i (mod Ax) の指数と一致する
としてよい。すると、M は Ax, A(y_1), ... , A(y_r) の直和となる。
何故なら、ax + (b_1)(y_1) + ... + (b_r)(y_r) = 0 とする。
ここで、a, b_1, ... , b_r は A の元。
(b_1)(y_1) + ... + (b_r)(y_r) = 0 (mod Ax) となるから、
各 b_i = 0 (mod p^(m_i))となる。ここで、m_i は y_i の指数。
よって、各 (b_i)(y_i) = 0 である。よって、ax = 0 となる。
これと、leng(M) = leng(Ax + A(y_1) + ... + A(y_r)) に注意
すれば、M = Ax + A(y_1) + ... + A(y_r) (直和)となる。
証明終