A を環、SをAの積閉集合とする。
I = {x ∈ A; sx = 0 となる s ∈ S がある}
とおく。
I はA のイデアルである。
φ: A → A/I を標準射とする。
φ(S) の各元は B = A/I の非零因子である(演習問題)。
よって、φ(S) の各元は B の全商環 Q において逆元を持つ。
よって、Qの部分環 A_S = {φ(x)/φ(s); x ∈ A, s ∈ A} が定義
出来る。
A_S を A の S による局所化という。
A_S は A[1/S]とも書く。
A_S の元 φ(x)/φ(s) は、普通略して x/s と書く。