定理(Going-down定理)
A を整閉整域(>>578)、A ⊂ B を整域の包含関係、B は A 上整とする。
p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n を A の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_n を p_n の上にある B の素イデアルとする。
このとき、B の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n で
p_i = A ∩ q_i が各 i で成立つものがある。

証明
K を A の商体、L を B の商体とする。B は A 上整だから、
L/K は代数拡大である。M/K を L/K を含む準ガロワ拡大とする。
C を M における B の整閉包とする。C は A の整閉包でもある(>>511)。
q_n の上にある C の素イデアル r_n が存在する(>>520)。
>>641 より、C の素イデアル鎖
r_0 ⊂ r_1 ⊂ ... ⊂ r_n で p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n の上に
あるものがある。q_i = B ∩ r_i とおけばよい。
証明終