環の整拡大の話題に戻ろう。

補題
A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。
p_0 ⊂ p_1 を A の長さ１の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_0 を p_0 の上にある B の素イデアルとする。
B の長さ１の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 で
q_1 が p_1 の上にあるものが存在する。

証明
A/p_0 ⊂ B/q_0 とみなせる。>>520 の定理(Cohen-Seidenberg)
より、p_1/p_0 の上にある B/q_0 の素イデアル q_1/q_0 がある。
p_1/p_0 ≠ 0 だから q_1/q_0 ≠ 0
証明終