命題
I を前順序集合、(X_i) を I を添字集合とする位相空間の射影系とする。
各 X_i がハウスドルフなら、射影極限 proj.lim X_i は
直積空間 X = ΠX_i の閉集合である。

証明
pr_i: X → X_i を射影とする。
i ≦ j に対して E_(i,j) = { x ∈ X; pr_i(x) = f_(i,j)pr_j(x) }
と定義する。f_(i,j): X_j → X_i は射影系(X_i)を定義する射である。
E_(i,j) は命題(>>609)より X の閉集合である。
proj.lim X_i は i ≦ j を任意に変化させたときの E_(i,j) の
共通集合だから閉である。
証明終