ついでに、>>579 と形式上、似たような命題を証明する。
その前に次の補題を用意する。

補題
K を無限体、X を K-加群、V, W_1, ... , W_n をその部分加群、
V ⊂ W_1 ∪ ... ∪ W_n とする。
x, y ∈ V なら、x, y ∈ W_i となる i がある。

証明
t ∈ K とすると、x + ty ∈ W_i となる i がある。
t にこの i を対応させることにより、集合としての写像
K → {1, ..., n} が得られる。K は無限体だから、この写像は
単射ではありえない。よって、x + ty = x + sy ∈ W_i となる
t, s ∈ K で t ≠ s となるものがある。
よって、(t - s)y ∈ W_i となる。これから、y ∈ W_i となり、
x ∈ W_i ともなる。
証明終