定理
有理整数環 Z では素因数分解の一意性が成立つ。

証明。
n > 0 を整数とし、
n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) = (q_1)^(m_1)...(p_s)^(m_s)
を n の２通りの素因数分解とする。
n = 0 (mod p_1) だから >>566 より q_i = p_1 となる q_i
がある。これと帰納法を使えばよい。
証明終