この際だから、有理整数環 Z で素因子分解の一意性が成立つことの
(ほぼ)普通の証明しよう。

a と b が Z の元のとき a と b で生成されるイデアルを
(a, b) と書く。つまり、(a, b) = Za + Zb である。
元の数がいくつになっても同様。

補題
(a, b) = (a, b + at) となる。
ここで、a, b, t は任意の有理整数

証明
明らか。