長さnの巡回置換が位数n(ここでは「n乗して始めて1になる」と定義)
ってのは特に何も使わずに示せるけど、
「位数nの元の生成する部分群の位数はn」ってのは『割り算』しないと導けないかと。

aを位数nの元として、{a^i|i=0, 1, ..., n-1}が部分群となる事を示すには、
任意のi, j=0, 1, ..., n-1に対しあるk=0, 1, ..., n-1が存在して
a^i・a^j=a^kである事を示せなきゃいけない。
このkとしては、i+jをnで『割った』余りとするか、
i+jとnの大小関係で場合分け(実質的に『割り算』するのと同じ)する事になる。
ここで『割り算』が必要になる。

あと、
＞G は巡回群でなくても有限アーベル群ならいい。
にしても、位数nのAbel群の存在を示さなきゃいけない。

また、あの証明はあんまり一般化出来ない。
例えばEuclid整域であるZ[√(-1)]にさえ適用できない。
最後の部分で「Z/pZの同型類からpが(可逆元倍を除いて)一意に定まる」って事実を使ってる。
けど、Z[√(-1)]/(2+√(-1))とZ[√(-1)]/(2-√(-1))は同型なので、
これはZ[√(-1)]には適用できない。
なので、一般の整域において成り立つ事実「素元分解の一意性」の証明に使える訳じゃない。

やっぱりJordan-Holderの定理は、素因数分解の一意性とは
方向性が微妙にずれてる気がする(本質を捉えてない気がする)。
「ZはEuclid整域」ってのを認めた時点で、
「Euclid整域はUFD」っていう一般的事実から素因数分解の一意性が出る訳だし。
上記の通り、「Euclid整域はUFD」の証明に>>441の証明が流用できる訳じゃないし。
無茶苦茶細かい論点だけどね。