命題
A を環、B を A-代数とする。
B の x が A 上整であるなら A[x] は A-加群として有限生成である。

証明
A の元の列 a_1, ... , a_n で、
x^n + a_1x^(n-1) + ... + a_n = 0
となるものがある。
よって、x^n ∈ A+ Ax + ... + Ax^(n-1) である。
これから帰納法で任意の m に対して
x^m ∈ A+ Ax + ... + Ax^(n-1) となることがわかる。
よって、A[x] = A+ Ax + ... + Ax^(n-1)
証明終