代数的整数論
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0001１３２人目の素数さん
2005/09/12(月) 16:30:310446208
2005/10/20(木) 12:32:43A をネーター環、x を rad(A) (>>238) の元とすれば。
dim(A) ≦ dim(A/xA) + 1 となる。
証明
dim(A) が 0 または 1 のときは明らか。
よって、
p_0 ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_n を A の長さ n ≧ 2 の素イデアル鎖で
x ∈ p_0 なら、長さ n-1 の素イデアル鎖
p_0 ⊃ q_1 ⊃ ... ⊃ q_(n-1) で x ∈ q_(n-1) となるものが存在
することを示せばよい。n に関する帰納法を使う。
x ∈ p_1 なら帰納法の仮定を使えばよいから、x は p_1 に含まれない
とする。よって、補題(>>445)を使えばよい。
証明終
0447１３２人目の素数さん
2005/10/20(木) 13:56:07>使わないなんて言ってないだろ。
>お前、日本語も駄目なんだな
お前こそが日本語だめだろ
しかも
使うか使わないかもわかりもしないで
証明したことにしてるんだし
0448１３２人目の素数さん
2005/10/20(木) 14:00:00問題点をつきつけられてわからぬバカは
うそつき以上にたちがわるい
いえばわかる程度の奴だとおもうから
うそつきで我慢してやったがな
君にはがっかりだ
0449１３２人目の素数さん
2005/10/20(木) 14:02:120450１３２人目の素数さん
2005/10/20(木) 14:13:16π＝３．１４１５・・・＝３．p1p2p3p4・・・pn・・・
{p_i}_[i=1,∞]の内、素数であるものの集合をＸ、それ以外をＹ
とした時に、Ｘ，Ｙの元の数を｜Ｘ｜、｜Ｙ｜とした時に、
｜Ｘ｜/｛｜Ｘ｜＋｜Ｙ｜｝を見積もれ。
0451１３２人目の素数さん
2005/10/20(木) 14:20:53{p_i}_[i=1,∞]という数列が、完全にランダムである、つまり、
乱数であるか否かを示せ、また、もし乱数である場合、πという
数はどんな性質を持つ事になるか？更に、πを用いて乱数を順次
発生するプログラムを作るとするとどんなプログラムになるか？
0452１３２人目の素数さん
2005/10/20(木) 14:27:46完全にランダムな数列{q_i}_[i=1,∞]が存在した時に、別の
完全にランダムな数列{r_i}_[i-1,∞]が存在しうるか？
0453１３２人目の素数さん
2005/10/20(木) 14:31:55完全にランダムな数列{q_i}_[i=1,∞]が存在するのか？
存在するとした時に、それを生成するプログラムを具体
的に書き下せるのか？それとも存在はするあ具体的には
書き下せいないのか？それを検討、証明せよ。
0454208
2005/10/20(木) 14:39:02A をネーター環、x_1, ... , x_r を rad(A) (>>238) の元とすれば。
dim(A) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + r となる。
証明
r に関する帰納法。r = 1 のときは、>>446 そのもの。
r > 1 とし、B = dim(A/x_2A + ... + x_rA) とする。
x_1 の B における像を y とすると、再び >>446 より
dim(B) ≦ dim(B/yB) + 1
B/yB は、A/x_1A + ... + x_rA に同型である。
よって、
dim(A/x_2A + ... + x_rA) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + 1 となる。
一方、帰納法の仮定より、
dim(A) ≦ dim(A/x_2A + ... + x_rA) + r - 1 となる。
よって、dim(A) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + r となる。
証明終
0455208
2005/10/20(木) 14:48:43A をネーター環、I をそのイデアルで、r 個の元 x_1, ... , x_r
で生成されるものとする。p を I を含む素イデアルの中で極小な
ものとすると、ht(p) ≦ r である。
証明
A を A_p で置き換えて、A は局所環で、p はその極大イデアル
としてよい。>>454 より dim(A) ≦ dim(A/I) + r である。
I を含む素イデアルは、p だけだから、dim(A/I) = 0 である。
よって、dim(A) ≦ r である。
あとは、dim(A) = ht(p) に注意すればよい。
証明終
0456１３２人目の素数さん
2005/10/20(木) 17:32:35そんなの割り算を使うから簡単には出ないって主張してる側が探して
ここからここに行くときにどうしても使わざるを得ない、って主張するべきじゃねえのか？
もう基地外は無視しようぜ
0457１３２人目の素数さん
2005/10/20(木) 18:08:33できないやつがごまかすなよ
降参しろよばーか
こんなかんたんなことなのにな
ほんとにおまえらってなさけない
いっしょうじべたをはいずってろって
0458１３２人目の素数さん
2005/10/20(木) 18:14:08いいか雑魚おれは基地概でもなんでもいい
答えをしっている
おまえは答えがわからない単なるアホなんだよ
無視してくれるのがありがたいね
0459208
2005/10/20(木) 19:44:37>使うか使わないかもわかりもしないで
どっから、そういう結論になるんだよ。
俺は、使う使わないは問題が簡単かどうかに関係ないだろ
って言ったんだよ。
素因数分解は自然数の整除が関係してんだから割り算くらい使うだろ
現に >>441 で n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r) を使ってる。
で、使ったからどうだっていうの？
0460１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 00:49:41このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」
これが証明できるレベルの奴は折らんのか？
0461１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 08:38:08ほれ
命題
自然数の素因数分解は順序を除いて一意的である。
証明
n を自然数として、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
を n の素因数分解とする。
G を位数 n の巡回群とし、それが 組成列の剰余群として、n_1 個の Z/(p_1)Z,
... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つことを n に関する帰納法で証明する
(各 Z/(p_i)Z は単純なのは明らか)。
G = Z/nZ の位数を p_1 は割るから G は位数 p_1 の部分群 H を
持つ。G/H は巡回群であり、その位数は
n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r)
で n より小さいから、帰納法の仮定より、G/H は、組成列の剰余群
として (n_1 - 1) 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つ。
よって、G は、最初の主張の剰余群列を持つ。
これからJordan-Holderより、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
の分解は一意に決まる。
証明終
Thanks. This is interesting.
0462１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 08:39:36このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」
Is this easy when $A$ is Noetherian?
0463208
2005/10/21(金) 09:12:20ちょっと考えたけどわからん。
ところで、質問するならその背景を少し説明してくれ。
その問題のソースとか。
大体、それが成立つ保障はあるのか？
成立たない問題をいくら証明しようとしても無駄だからな。
0464208
2005/10/21(金) 09:26:22r に関する帰納法を使う。
A を A_p で置き換えて、A は局所環で、p はその極大イデアル
としてよい。
dim(A) ≦ 0 のときは明らかだから dim(A) ≧ 1 とする。
p ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_s を長さ s の素イデアル鎖とする。
p_1 は、 p に含まれ p と異なる素イデアルの中で極大とする。
このような素イデアルが存在するのは、A がネーター環であること
により保障される。
I は p_1 に含まれないから、p_1 に含まれない x_i がある。
x_1 が p_1 に含まれないとしてよい。
(x_1)A + p_1 を含む素イデアルは p のみだから、
Ass(A/x_1A + p_1) = {p} である。よって p^n ⊂ (x_1)A + p_1
となる n > 0 がある。
I ⊂ p だから、各 i ≧ 2 で (x_i)^n ∈ (x_1)A + (y_i)A となる
p_１の元 y_i がある。
J = (y_2, ... , y_r) とおく。I の生成元 x_1, ... , x_r は
mod (x_1)A + J で、べき零だから、I の十分高いべきは、(x_1)A + J
に含まれる。よって、(x_1)A + J を含む素イデアルは p のみである。
さて、p_1 ⊃ q ⊃ J となる素イデアルがあるとする。
(x_1)A + q ⊃ (x_1)A + J だから、(x_1)A + q を含む素イデアルも
p のみである。よって、単項イデアル定理(>>381)により整域 A/q
において x_1 mod q で生成される単項イデアルの高さは 1 である。
よって、dim(A/q) = 1 である。これは、p_1 = q を意味する。
よって、p_1 は J を含む素イデアルの中で極小である。
J は r - 1 個の元で生成されるから、帰納法の仮定より、
ht(p_1) ≦ r -1 である。つまり、s - 1 ≦ r -1 である。
よって、s ≦ r である。これは、ht(p) ≦ r を意味する。
証明終
0465208
2005/10/21(金) 09:36:17準素イデアル分解定理の次に得られた大定理だろう。
代数的整数論では１次元の環、とくにDedekind環を扱うので、
表面的には高次元の環はあまり関係ないとも言える(実は関係はある)。
しかし、Krullの次元定理は、このスレの今までの知識で証明
出来るので述べてみた。
0466１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 11:53:57「局所環Bが局所環A上local-ind-etaleのとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」
とある。
証明は、Aが整閉整域ならBもそうであることはBがA上local-ind-etaleであることから分かる。と書いている。これは俺も納得している。
逆は明らかなのか説明は書いてない。おそらく一般的に成り立つと思われる。
たとえば、AがBの部分環であることは次のようにして分かる．
ｆ：A->Bをstructure morphismとして，I=Ker(f)とおく．
すると，（A/I）○B＝A○Bであることから，I○B=0であることが分かるが,
BはA上local-ind-etaleであるから，A上忠実平坦であるので，I=0である．
但し，○はテンソル積の意味．
最後に，A上local-ind-etaleとは次のように定義される：
局所環（A,m）上etale環Cをｍの上にlie-overする素イデアルpで局所化した環C_pをlocal-etale環と呼び，
local-etale環のfiltrant帰納系（morphismはlocal morphism，すなわち極大イデアルの逆増が極大イデアル）の極限をA上local-ind-etaleと呼ぶ．
だから，上の主張は，Bがlocal-etaleの場合でも成り立つのでそれが手がかりにもなる．
0467１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 12:14:45Olivier, J.-P. Going up along absolutely flat morphisms. J. Pure Appl. Algebra 30 (1983), no. 1, 47--59.
I think your question is related to the content of this paper
and not so trivial. So I strongly recommend you to read it.
Absolutely flat morphism is more general than ind-etale maps.
0468１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 13:29:21わははははははっは
わははははははっは
これは大笑いだね
大恥さらしだね
こんなバカみたことないね
「割り算」の意味すら理解してないんだな
ここまでバカだとは信じられないね
もうあんまり嬉しがらせないでよね
笑い死にしたらどうすんだよ
ついでだけど>>461の証明もみっともないよ
もういいわ
喋っても無駄なバカの集まりだった
Ass の集まりだよ
0469１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 13:44:20の回答はいつまでも晒しておきたいくらい愚かだな
0470１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 15:03:36亀レスながら…
Weber の代数学教程第3巻のみ邦訳有。
（ただし、代数関数の部分は省略されています）
片山氏が邦訳したものが私家版で出版されています。
在庫の有無は津田塾に尋ねると良いでしょう。
確か送料込みで４ｋ弱だったはず。
（紙代＋製本代を実費負担、という感じです）
0471１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 15:38:07本当にありがとうございます。早速手に入れて読んでみます。
467さんは、この代数幾何・整数論・可換環論などの専門家なのですね。
恐れ入りました。
Raynaudの本はもう８章で終わらそうと思っています。
なんか８章の最後が飛びすぎてて、９章以降読んでも完全に分かりそうな気がしなくなった。
0472１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 16:00:15こんなに痛いやつは次世代のワイルズ以来だが、
同一人物か？
0473１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 16:05:08相手をすると病状が悪くなるらしい。俺はこのスレ好きだから
無視してやって欲しい。オネガイ。
0475１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 16:44:13ねんのため言っておいてやろう
たとえば>>425>>363
は「割り算」の意味を理解してるね
>>459が冗談で言ってるんじゃなかったら
真性のアホだよ
それがわからないｵﾏｴﾗは同類ということだよ
0476208
2005/10/21(金) 16:49:02自然数という素朴な対象を相手にしてるからとっつきやすいんだろうな。
奴もJordan-Holderなんて頭素通りなんだろうね。
分かるのは四則演算くらい。だから、素因数分解と聞いて飛びついた。
ところが、期待してた証明と違うんで八つ当たり。
こんなとこだろ。
0477１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 16:56:40おまえが何を言おうと今回は大恥かいてるよ
それすらわからないんだな
重症だな
>>459というﾊﾞｶ丸出しを引き出せて俺は心底満足してる
しかしおまえの名誉のためつけ加えてやろう
他の数学の書き方はまあちゃんとしてるから
症状は自閉症だろ
0479208
2005/10/21(金) 17:31:59普通の人間にわかるように説明してみろ。
お前のいう割り算とはどういう意味で、それが何故簡単じゃないのか。
0480１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 17:46:49>>425でも読んでアタマ冷やせよ
これ以上恥の上塗りするのかね
とんでもない教えてくんだね
いままでの罵詈雑言を考えたらね
おれはおまえのようなバカに教えてやる義理はないよ
おまえはエライからなんでもわかってるんだろ
しかしヒントだけいってやろう
おまえだって素因数分解の一意性の普通の証明しってるだろ
それを反省してみなよ
0481１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 17:53:11いっとくがおれは>>459が出たから
ここで引き下がって痛くも痒くもない
わかる人間がよめばはっきりするからな
悔し紛れに逃げたとかほざいても
恥の上塗りだって覚えておきなよ
おれはその方がおもしろいけど
0482208
2005/10/21(金) 17:54:24いいから、説明しろよ、この野郎。
説明出来ないなら初めから引っ込んでろ。
0483１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 18:00:13恥かき男が強がり言うな
わからなきゃはじめから演習だなんて
偉そうなこと書くんじゃねえよ
ばか
やっぱりおまえは教えて君そのものだったな
0484１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 18:03:080485１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 18:11:24そうだね好きでなったわけじゃないし
0486208
2005/10/21(金) 18:14:18だったら、その理由を説明しろよ。
それを、やだよって、気は確かかよ（キ印クンにこう聞くのは、
我ながら書いてて可笑しいが）。
理由を説明するのは、お前の名誉の為なんだよ。
説明出来ないのは、お前がトンデモだってこと。
0487１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 18:18:13もう終わってるの
終わってないのはおまえだけ
俺がトンデモでも何でもいいの
恥をかいてるのは お ま え
強がりしかいわないおまえなんかに誰がおしえてやるかよバカ
0488１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 18:21:01あがけばあがくほど愉快になってきてるよ
ホントに>>459は傑作
世の中にこんなバカがいるなんて
楽しいことだね
いくらでも罵詈雑言いってもいいからね
おまえの>>459は不滅の金字塔だよ
0489１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 18:23:00のおかげですく
1000
行きそうだなｗ
0490１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 18:24:400491１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 18:25:430492１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 18:30:130493１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 18:35:020494208
2005/10/21(金) 19:46:27これは割り算だろ。
例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。
これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？
0495208
2005/10/21(金) 20:04:31とにかく、お前の考えはわかってんだよ。素因数分解の普通の
証明のことを言ってんだろ。それが、お前には、難しいんだよな。
だから、俺が、Jordan-Holderを使えばすぐ出ると言ったことに
カチンときたわけだ。そんな、はずはないとな。
Jordan-Holderは、お前の理解を超えてんだよ。
だから、見当違いのレスを書く。
0496１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 21:51:29上の方の人が言ってる割り算ってのは多分剰余付きの割り算の事でしょ。
a=qb+rみたいな。
「有理整数環Zでは『割り算』が出来る、つまりZはEuclid整域である」
という事を本質的に使ってる、と言ってるんじゃないの?
『割り算』を本質的に用いなければ
素因数分解はおろかZ/nZの性質のほとんどは導けないかと。
例えばZ/nZがn個の元からなる事とか。
0497１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 01:55:14もうキチガイは無視しようよ
言っても通じないって
どっか頭のネジが緩んでるみたいだし
0498１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 04:10:21In case all rings are local Noetherian, you can use Serre's
criterion of normality ((R_{1}) and (S_{2})) to solve
the problem. See Matsumura.
0499１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 04:16:390500１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 15:52:010501１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 21:10:530502208
2005/10/24(月) 09:42:45>「有理整数環Zでは『割り算』が出来る、つまりZはEuclid整域である」
>という事を本質的に使ってる、と言ってるんじゃないの?
それ(代数の初歩で習うこと)を俺に説教しようと思ってるんだろうなw
たぶん、奴には別証という概念がないんだろうな。
つまり、素因数分解の証明はただ１種類しかないと思ってるんだろう。
>>441の証明の G は 位数 n の巡回群であればいい。Z/nZ である
必要ない。俺は、分かりやすくしようと、Z/nZ を例にしただけ。
例えば、G として対称群における長さ n の巡回置換の生成する部分群
をとればいい。
だとすると、剰余付きの割り算 a=qb+r は必ずしも必要ないだろう
(詳しく検討したわけではないが)。
さらに、G は巡回群でなくても有限アーベル群ならいい。
0503208
2005/10/24(月) 10:24:00A を環、B を A-代数とする。つまり、環としての射 A → B
があるとする。B が A-代数として有限生成または有限型であるとは、
A 上の多項式環 A[X_1, ... , X_n] から B への A-代数としての
全射 A[X_1, ... , X_n] → B があることをいう。
つまり、B に有限個の元の列 b_1, ... , b_n があり、
B は A-代数として、これらで生成される。
このとき、B = A[b_1, ... , b_n] と書く。
この射の核が A[X_1, ... , X_n] のイデアルとして
有限生成であるとき、B を強有限生成または有限表示
(finite presentation)をもつという。
A がネーター環のときは、A[X_1, ... , X_n] もネーター環だから
B が A 上有限生成であるなら強有限生成でもある。
0504208
2005/10/24(月) 10:26:32A を環、B を A-代数とする。
B が A-加群として有限生成のとき、B を A 上有限な代数という。
0505208
2005/10/24(月) 10:42:46A を環、B を有限なA-代数とする。
このとき、B の各元 x に対してモニックな多項式 f(X) ∈ A[X]
があり、f(x) = 0 となる。
証明
B の A-加群としての生成元を ω_1, ... , ω_n とする。
以下の関係式が成立つ。
xω_1 = a_(1,1) ω_1 + a_(1,2) ω_2 + ... + a_(1,n) ω_n
xω_2 = a_(2,1) ω_1 + a_(2,2) ω_2 + ... + a_(2,n) ω_n
.
.
.
xω_n = a_(n,1) ω_1 + a_(n,2) ω_2 + ... + a_(n,n) ω_n
ここで、各 a(i,j) は A の元。
行列 (a_(i,j)) を T とおく。
>>236 より det(xE - T)B = 0 となる。E は n-次の単位行列。
よって、det(xE - T) = 0 である。
この行列式を展開すると、命題の主張が得られる。
証明終
0506208
2005/10/24(月) 12:42:46A を環、B を A-代数とする。
B の x に対してモニックな多項式 f(X) ∈ A[X] があり、
f(x) = 0 となるとき、x を A 上、整(integral)であるという。
B のすべての元が A 上整のとき、B を A 上整であるという。
(注意) この定義における A-代数 B の構造射 A → B は必ずしも
単射でなくともよい。
0507208
2005/10/24(月) 12:43:19A を環、B を A-代数とする。
B の x が A 上整であるなら A[x] は A-加群として有限生成である。
証明
A の元の列 a_1, ... , a_n で、
x^n + a_1x^(n-1) + ... + a_n = 0
となるものがある。
よって、x^n ∈ A+ Ax + ... + Ax^(n-1) である。
これから帰納法で任意の m に対して
x^m ∈ A+ Ax + ... + Ax^(n-1) となることがわかる。
よって、A[x] = A+ Ax + ... + Ax^(n-1)
証明終
0508208
2005/10/24(月) 12:44:27環の射 A → B → C において、
B は A 上有限、C は B 上有限とする
このとき、C は A 上有限である。
証明
B = Ax_1 + ... + Ax_n
C = By_1 + ... + By_m
とする。
C = ΣA(x_i)(y_j)
となる。ここに、和は i, j のすべての組み合わせを渡る。
証明終
0510208
2005/10/24(月) 12:58:00A を環、B を A-代数とする。
A 上整な B の元全体は B の部分 A-代数となる。
証明
x, y を B の元で A 上整とする。
>>509 より A[x, y] は、A 上有限である。
よって、>>505 より、A[x, y] は、A 上整である。
証明終
0511208
2005/10/24(月) 13:05:44環の射 A → B → C において、
B は A 上整、C は B 上整とする
このとき、C は A 上整である。
証明
C の元 y は
y^n + b_1y^(n-1) + ... + b_n = 0
の形の関係式を満たす。
ここで、b_1, ... , b_n は、B の元の列。
よって、y は A[b_1, ... , b_n] 上整である。
よって、A[b_1, ... , b_n, y] は A 上有限代数である(>>507, >>508)。
よって、y は A 上整である(>>505)。
証明終
0512208
2005/10/24(月) 13:21:58環の射 A → B → C において、
B は A 上整とする
B → C が全射なら、C は A 上整である。
証明
明らか。
0513208
2005/10/24(月) 13:30:13A を環、B を A 上整な代数とする。
A → C を環の射とする。
B(x)C は C 上整である。
ここで、B(x)C は B と C の A 上のテンソル積。
証明
B → B(x)C を x に x(x)1 を対応させる標準射とする。
この射の像を B' とする。
B' の元は A 上整である(>>512)から C 上整でもある。
よって、B(x)C は C 上整である。
証明終
0514208
2005/10/24(月) 13:34:53A を環、B を A 上整な代数とする。
S を A の積閉集合(>>63)とする。
B_S は A_S 上整である。
証明
B_S = B(x)A_S である(>>85)。
よって、これは >>513 の特別な場合である。
証明終
0515208
2005/10/24(月) 13:47:43B を整域で、k をその部分体とする。
B が k 上整なら、B は体である。
証明
y ≠ 0 を B の元とする。
k[y] は k 上有限代数である(>>507)。よってこれは Artin環である。
よって、これは体である(>>294)。よって、1/y ∈ k[y] ⊂ B
証明終
0516208
2005/10/24(月) 13:54:11K を体、A をその部分環とする。
K が A 上整なら、A は体である。
証明
x ≠ 0 を A の元とする。
(1/x)^n + a_1(1/x)^(n-1) + ... + a_n = 0
ここで、a_1, ... , a_n は、A の元の列。
この式の両辺に x^(n-1) を掛けると、
1/x ∈ A となる。
証明終
0517１３２人目の素数さん
2005/10/24(月) 13:59:59ようやくここまできたか
俺がキチガイであっても
アタマのネジはゆるんでいない
ゆるんでるのはおまえらのほうだよ
よく反省して見ろ
もっともバカだから反省の概念はないんだろうけど
0518208
2005/10/24(月) 14:07:21A を局所環、B を A 上整な代数とする。
m を A の極大イデアルとする。
B の任意の極大イデアル q に対して φ^(-1)(q) = m である。
ここで、φは 構造射 A → B である。
証明
環の射 A → B → B/q の合成 A → B/q を考える。
この射の核は、φ^(-1)(q) である。
よって、単射 A/φ^(-1)(q) → B/q が得られる。
B/q は A 上整である(>>512)から、A/φ^(-1)(q) 上整でもある。
よって、A/φ^(-1)(q) は体である(>>516)。
よって、φ^(-1)(q)は、極大イデアルである。
A は局所環だから、φ^(-1)(q) = m である。
証明終
0519１３２人目の素数さん
2005/10/24(月) 14:10:39ここまで来るのに一週間。バカの巣窟。
0520208
2005/10/24(月) 14:26:10φ: A → B を環の射で単射とする。
q に φ^(-1)(q) を対応させることにより、
標準射 Spec(B) → Spec(A) が得られるが(>>206)、
B が A 上整なら、これは全射である。
証明
p ∈ Spec(A) に対して S = A - p とおく。
A_S → B_S は単射である(>>86)。
よって、B_S は空でない。よって Spec(B_S) も空でない。
B_S は A_S 上整(>>514)であり、A_S は局所環だから、
B_S の極大イデアル q' の射 A_S → B_S による逆像は
A_S の極大イデアル pA_S である(>>518)。
q' に対応する B の素イデアルを q とすれば、
φ^(-1)(q) = p となる(適当な可換図式を描けば分かる)。
証明終
0521１３２人目の素数さん
2005/10/24(月) 14:37:14が親切に助け船だしてくれたのに
無視する208ってホントに自信過剰で
それゆえにホントの真性バカだと証明されたね
ちょっと前までは
>例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。
>これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？
などと噴飯ものの恥の上塗りを繰り返しておきながら
>たぶん、奴には別証という概念がないんだろうな。
などと無反省にくりかえす哀れな奴だね
>(詳しく検討したわけではないが)。
といいながら相手をキチガイ扱いする
これが208の正体だよ
0522１３２人目の素数さん
2005/10/24(月) 14:43:12ふふふおまえは説教される値打ちはないよ
あとその取り巻きの雑魚の>>497もね
0523１３２人目の素数さん
2005/10/24(月) 14:52:47208が好き勝手書いていいところなんですよ
0524208
2005/10/24(月) 16:18:19>よって、B_S は空でない。
よって、B_S は 0 でない。
0525１３２人目の素数さん
2005/10/24(月) 23:58:37ってのは特に何も使わずに示せるけど、
「位数nの元の生成する部分群の位数はn」ってのは『割り算』しないと導けないかと。
aを位数nの元として、{a^i|i=0, 1, ..., n-1}が部分群となる事を示すには、
任意のi, j=0, 1, ..., n-1に対しあるk=0, 1, ..., n-1が存在して
a^i・a^j=a^kである事を示せなきゃいけない。
このkとしては、i+jをnで『割った』余りとするか、
i+jとnの大小関係で場合分け(実質的に『割り算』するのと同じ)する事になる。
ここで『割り算』が必要になる。
あと、
＞G は巡回群でなくても有限アーベル群ならいい。
にしても、位数nのAbel群の存在を示さなきゃいけない。
また、あの証明はあんまり一般化出来ない。
例えばEuclid整域であるZ[√(-1)]にさえ適用できない。
最後の部分で「Z/pZの同型類からpが(可逆元倍を除いて)一意に定まる」って事実を使ってる。
けど、Z[√(-1)]/(2+√(-1))とZ[√(-1)]/(2-√(-1))は同型なので、
これはZ[√(-1)]には適用できない。
なので、一般の整域において成り立つ事実「素元分解の一意性」の証明に使える訳じゃない。
やっぱりJordan-Holderの定理は、素因数分解の一意性とは
方向性が微妙にずれてる気がする(本質を捉えてない気がする)。
「ZはEuclid整域」ってのを認めた時点で、
「Euclid整域はUFD」っていう一般的事実から素因数分解の一意性が出る訳だし。
上記の通り、「Euclid整域はUFD」の証明に>>441の証明が流用できる訳じゃないし。
無茶苦茶細かい論点だけどね。
0526１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 00:13:550527１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 00:30:33あるいは同種の状況、とか
ってかこんなどうでも良いことでも昔々ののメンバーたちは多分
0528１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 00:32:39ってかこんなどうでも良いことでも昔々のBourbakiのメンバーたちは
多分喧々諤々の物凄い議論をして、数学原論をつくったんだろうな
まあ彼らの中に論点を無駄に隠して引っ張ったり矢鱈偉そうに俺が出したヒントがどうの、
というキチガイは居なかっただろうが
0529208
2005/10/25(火) 10:12:10>i+jとnの大小関係で場合分け(実質的に『割り算』するのと同じ)する事になる。
>ここで『割り算』が必要になる。
君の言ってることは、百も承知してるけど(そういう意見が出るのは予想して>>502を書いた)、
それは見方によると思うが。
i + j から n を引けば n 以下になるのは明らか(i、ｊ が n 以下のとき)。
これは、割り算っていうより引き算だろう(見方によるが)。
>また、あの証明はあんまり一般化出来ない。
俺はあの証明が一般化出来るとか既存の証明より優れているとか
一言も言ってないよ。
0530208
2005/10/25(火) 10:58:49>ってかこんなどうでも良いことでも昔々のBourbakiのメンバーたちは
>多分喧々諤々の物凄い議論をして、数学原論をつくったんだろうな
ないってw
Bourbakiに失礼だよ。
Jordan-Holderから素因数分解の一意性が出るというのはBourbakiも書いてるけどな。
0531208
2005/10/25(火) 12:44:44命題
A を環、M を長さ有限の A-加群、
f ∈ Hom(M, M) とする。
f が単射なら全射である。
証明
leng(M) = leng(Im(M)) である。
よって M = Im(M) でなければならない(>>289)。
証明終
>>515 の k[y] において、この命題を写像 f(x) = yx に適用すればよい。
0532208
2005/10/25(火) 12:50:54>φ^(-1)(q) = p となる(適当な可換図式を描けば分かる)。
以下の図が、その可換図式
A → A_S
| |
v v
B → B_S
これの各環に Spec を作用させて得られる可換図式を考えてもいい。
この場合、矢印の向きが逆になる。
0533208
2005/10/25(火) 12:52:20半角の空白は駄目だったな。
A → A_S
| |
v v
B → B_S
0534208
2005/10/25(火) 13:02:55A を環、p ∈ Spec(A) とする。
A_p/pA_p は A/p の商体に標準的に同型である。
証明
S = A - p とおく。
完全列 0 → p → A → A/p → 0 より、
0 → p_S → A_S → (A/p)_S → 0
は完全。よって、(A/p)_S = A_S/pA_S。
一方、(A/p)_S は、A/p の商体に同型である。
証明終
0535208
2005/10/25(火) 13:08:12A を環、p ∈ Spec(A) とする。
A_p/pA_p を k(p) またはκ(p)と書く。
EGA などはκ(p) を使ってるが、k(p)のほうが書きやすいので
このスレではk(p)を使う。ただし、k は体の記号としてよく使う
ので、紛らわしい場合はκ(p)を使うことにする。
0536１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 13:54:16がいろいろ言ってくれたおかげで
208とそのとりまきのアホにも問題点がようやくわかったわけだ
そして結局208はJordan-Holderと書いてはみたが本質はわかっていないから
ここまで到達するのに教えて君をかましつづけて1週間ほどかかった
1週間かかることは208にとって簡単なことじゃない
簡単なことならただちにわかるはず
それなのに>529のように割り算じゃなくてむしろ引き算だとか
みぐるしいったらありゃしないね
他人のことをキチガイだとか非難する前に
自分の言ったことに責任もてよ
おまえはここに隔離されててしかるべきアホだったよ
0537１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 16:56:340538１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 18:21:58例えば「積分」をどう書くかでかなり議論してて、
議論のたびにもう辞めてやる！とか言う人が居たとか居なかったとかｗ
ってか知ってるだろうけど
多分代数なんか書くのにすごい時間が掛かってるはずだと思うよ
今では群、環、体の順番に書き始めるのは当たり前で何の創意も要らないが
そもそもこれを創めたのはBourbakiな訳で、彼らが草稿を議論するときには
いろんな書き方の選択肢があって議論したはず
Jordan-Holderで議論したかどうかは知らんよ
0539208
2005/10/25(火) 18:40:38φ: A → B を環の射、p ∈ Spec(A) とする。
f: Spec(B) → Spec(A) をφから誘導された射とする。
つまり、f(q) = φ^(-1)(q) とする。
S = A - p とおいたとき、B_S を B_p と書く。
Spec(B_p/pB_p) は Spec(B_p) の部分集合と同一視される(これは明らか)。
さらに、Spec(B_p) は Spec(B) の部分集合と同一視される(>>81)。
この同一視により、f^(-1)(p) は集合としてSpec(B_p/pB_p)と同一視される。
証明
まず、B_p は B の積閉集合 φ(S) に関する局所化 B_φ(S) に一致
することに注意する。
f(q) = p のとき、q ∩ φ(S) であり pB_p ⊂ qB_p となることは明らか。
よって、f^(-1)(p) ⊂ Spec(B_p/pB_p) とみなされる。
逆に、q ∈ Spec(B) で、q ∩ φ(S) かつ pB_p ⊂ qB_p とする。
x ∈ p とすると、φ(x)/1 ∈ qB_p となるから、φ(s)φ(x) ∈ q
となる s ∈ A - p がある。φ(s) は q に含まれないから、
φ(x) ∈ q となる。よって、p ⊂ φ^(-1)(q) である。
逆に、x ∈ φ^(-1)(q) とする。φ(x) ∈ q だから、x ∈ A - p では
ありえない。つまり、x ∈ p。よって、p = φ^(-1)(q) である。
証明終
0540208
2005/10/25(火) 18:45:11いや、どっちかっていうとお前が自閉症なんだよ。なぜって、空気が読めないから。
おかしい、おかしいと皆が言ってるのは俺のことじゃない。
0541208
2005/10/26(水) 09:21:01B(x)pA_p → B(x)A_p → B(x)(A_p/pA_p) → 0 は完全
(ただし、B(x)pA_p → B(x)A_p は単射とは限らない)。
よって、B(x)(A_p/pA_p) = B(x)k(p) は
(B(x)A_p)/Im(B(x)pA_p) = B_p/pB_p に同型。
この同型により、B(x)k(p) と B_p/pB_p を同一視する。
Spec(B(x)k(p)) を f: Spec(B) → Spec(A) の p におけるファイバー
という。これは f^(-1)(p)(にSpec(B)の部分空間としての位相を
いれたもの)と位相同型である(証明はまかす)。
0542208
2005/10/26(水) 09:23:55Bourbakiが彼らの本を書く前にいろいろ議論していることは
知ってるし当然だろう。だけど、こんなくだらない議論(議論ともいえないが)は
してないだろうっていう意味だよ。
0543208
2005/10/26(水) 09:36:17p = φ^(-1)(q) のとき、q は p の上にあるという。
p は q の下にあるという。このとき、この関係を
p = A ∩ q と書く場合もある。これは A ⊂ B のとき以外は
不適当であるが便利。これは、いわゆる「記法の濫用」
(abuse of notation) の一種だが、数学では適切な「記法の濫用」は
しばしば有用である。ただ、諸刃の剣であり使用には注意がいるが。
0544208
2005/10/26(水) 09:46:35>今では群、環、体の順番に書き始めるのは当たり前で何の創意も
>要らないが そもそもこれを創めたのはBourbakiな訳で、
Van der Wearden の教科書はBourbakiの前に出版されたが、
彼もその順番でやってる。
まあ、その順番は普通だれが考えても同じと思うが。
0545208
2005/10/26(水) 10:25:25f: Spec(B) → Spec(A) をφから誘導された射とする。
Spec(B(x)k(p)) は スキーム論的には Spec(B) と Spec(k(p)) の
Spec(A) 上のファイバー積である。
これからも、圏論およびスキーム論的に Spec(B(x)k(p)) が f^(-1)(p)
と位相同型になることが出る。
可換環論はアフィンスキーム論とみなせるので、可換環論を学ぶ上で
スキーム論は必須に近いと思うが入門の段階でこれをやるのは適当でないだろう。
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