Krullの単項イデアル定理(>>381)の系

A をネーター環、
p ⊃ p_1 ⊃ p_2 を A の長さ２の素イデアル鎖(>>379)とする
(よって、この３個の素イデアルは互いに異なる)。
x を p の元で、p_1 に含まれないものとする。
このとき x を含む素イデアル q で
p ⊃ q ⊃ p_2 が長さ２の素イデアル鎖となるものが存在する。

証明
A を A_p で置き換えて、A は局所環で p はその極大イデアルと
してよい。
Supp(A/(xA + p_2)) の極小元を q とする。つまり、q は xA + p_2
を含む素イデアルの中で極小である。
A は局所環だから、p ⊃ q となる。q ⊃ p_2 は明らか。
ネーター整域 B = A/p_2 と x' = x (mod p_2) に単項イデアル定理
(>>381)を適用すると、q/p_2 の高さは１であることが分かる。
よって p = q では有り得ない。何故なら、 p = q とすると、
q ⊃ p_1 ⊃ p_2 が長さ２の素イデアル鎖となって、q/p_2 の高さが１
であることに矛盾するから。
よって、 p ⊃ q ⊃ p_2 は長さ２の素イデアル鎖である
(q ≠ p_2 は明らか)。
証明終