すまん。>>339の証明には次の補題がいるな。

補題
A を環、I_1, I_2, ... , I_n を A の相異なるイデアルで
I_i + I_j = A が i ≠ j のとき成立つとする。
各 i に対して J_i を I_1, I_2, .. I_n から I_i を除いた積とする。
このとき I_i + J_i = A となる。

証明
I_i + J_i ⊂ m となる 極大イデアルがあったとする。
J_i ⊂ m だから i ≠ j のとき I_j ⊂ m となって、
I_i + I_j = A に矛盾する。
証明終

この補題は極大イデアルを使わなくても証明できる。