補題
A を環、I, J を A のイデアルで I + J = A とする。
このとき、IJ = I ∩ J となる。

証明
IJ ⊂ I ∩ J は明か。
I ∩ J = (I ∩ J)(I + J) ⊂ IJ + IJ = IJ
証明終