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代数的整数論

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0001１３２人目の素数さん2005/09/12(月) 16:30:31
代数的整数論に関するスレッドです。
02322082005/10/13(木) 11:06:51
>>231
>Supp(V) = V(Ann(V)) = Spec(A/Ann(V)) である

この A は体 K 上の多項式環 K[X] をあらわす。
Ann(V) は 線形写像 u の固有多項式で生成される。
02332082005/10/13(木) 11:21:49
>>199
>しかし、準素部分加群は既約とは限らない。

この例を Zariski-Samuel から引用しよう。
そのために、次の命題がいる。

命題
A をネーター環、 m をその極大イデアルとする。
整数 n > 0 に対して Ass(A/m^n) = {m} である。

証明
Supp(A/m^n) = V(m^n) である(>>176)。
一方、V(m^n) = {m} である(>>203)。
よって、Ass(A/m^n) = {m} である(>>99)。
証明終
02342082005/10/13(木) 11:42:19
準素部分加群が既約とならない例(Zariski-Samuel)：

K を体、 A = K[X, Y] を K 上の２変数多項式環とする。
A は Hilbert の基底定理よりネーター環である。
m = (X, Y) は A の極大イデアルである(何故か？)。
m^2 = (X^2, XY, Y^2) は A の準素イデアルである(>>233)。
m^2 = (m^2 + AX) ∩ (m^2 + AY) となる(演習問題とする)。
m^2 ≠ m^2 + AX, m^2 ≠ m^2 + AY であるから、
m^2 は可約である。
02352082005/10/13(木) 12:37:38
Artin環について述べる前に、可換環論において頻繁に使われる
中山の補題を証明する。私の知る限りこの証明は３種ある。
その全部を紹介しよう。
02362082005/10/13(木) 12:38:51
補題
A を環、M を A-加群とする。
n > 0 を整数。
a_(i,j), 0≦i, j≦n を A の元の列。
x_1, x_2, ... , x_n を M の元の列とする。

これ等の間に次の関係式：

a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = 0
a_(2,1) x_1 + a_(2,2) x_2 + ... + a_(2,n) x_n = 0
.
.
.
a_(n,1) x_1 + a_(n,2) x_2 + ... + a_(n,n) x_n = 0

があるとする。
このとき、det(T)x_i = 0 が各 i で成立つ。
ここで、 T = (a_(i,j)) であり、det(T) は T の行列式。

(注) 行列式は可換環でも普通と同様に定義される。
02372082005/10/13(木) 12:42:13
>>236の補題の証明

上の関係式を行列記法で書くと、TX^t = 0 となる。
ここで、 X = (x_1, x_2, ... , x_n)
X^t は X の転置行列。

T~ を T の余因子行列とする。
線形代数でよく知られているように
T~T = det(T)E となる。ここで、E は n-次の単位行列。
よって、T~TX^t = det(T)X^t = 0 となる。
つまり、det(T)x_i = 0 が各 i で成立つ。

証明終
0238１３２人目の素数さん2005/10/13(木) 13:11:57
定義
環 A のすべての極大イデアルの共通集合を A の Jacobson根基といい、
rad(A) と書く。Jacobson根基を省略して J-根基ということもある。
0239１３２人目の素数さん2005/10/13(木) 14:09:07
よく恥ずかしげもなくassなんて書けるな
02402082005/10/13(木) 17:26:14
補題
A を環、x を A の元で x = 1 (mod rad(A)) とする。
このとき、 x は可逆元である。

証明
x ∈ m となる A の極大イデアルがあるとする。
rad(A) ⊂ m だから x = 1 (mod m) である。
当然、x = 0 (mod m) だから 1 = 0 (mod m) となって矛盾。
よって、Ax = A でなければならない。
何故なら、Ax ≠ A とすると Zornの補題より、Ax を含む極大イデアル
が存在するから。
証明終
02412082005/10/13(木) 17:27:04
補題
A を環、E, F を A の元を成分とする n-次の正方行列とする。
I を A のイデアルとする。
E = F (mod I) とは、行列の成分毎の mod I での合同を意味する
とする。このとき、det(E) = det(F) (mod I) である。

証明
明らか。
02422082005/10/13(木) 17:36:29
中山の補題
A を環、I を A のイデアルで I ⊂ rad(A) とする。
M を有限生成 A-加群とする。
IM = M なら M = 0 である。

証明
M の A-加群としての生成元を x_1, ... , x_n とする。
IM = M より、I の元の列 a_(i,j), 0≦i, j≦n があり、
これ等の間に次の関係式が成立つ：

a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = x_1
a_(2,1) x_1 + a_(2,2) x_2 + ... + a_(2,n) x_n = x_2
.
.
.
a_(n,1) x_1 + a_(n,2) x_2 + ... + a_(n,n) x_n = x_n

つまり、TX^t = X^t となる。
よって、(E - T)X^t = 0 となる。
ここで、T = (a_(i,j))、
X = (x_1, x_2, ... , x_n)
X^t は X の転置行列。 E は n-次の単位行列。

よって det(E - T)x_i = 0 が各 i で成立つ(>>236)。
よって、det(E - T)M = 0 となる。
一方、E - T = E (mod I) となるから、
det(E - T) = 1 (mod I) となる(>>241)。
よって、det(E - T) は可逆元である(>>240)。
よって、M = 0 となる。
証明終
02432082005/10/13(木) 17:47:48
中山の補題(>>242)の別証１

>>242の記号を使う。
a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = x_1 より、
(a_(1,1) - 1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = 0
a_(1,1) - 1 は可逆(>>240)だから、
x_1 ∈ Ax_2 + ... + A x_n となる。
よって、M = Ax_2 + ... + A x_n となる。
これから、n に関する帰納法より、M = 0 となる。
証明終
02442082005/10/13(木) 17:58:50
補題
A を環、M を有限生成 A-加群とする。
N を M の部分加群で N ≠ M とする。
N を含む M の極大部分加群が存在する。

証明
N を含む M の部分加群で M と異なるものから構成される
全順序集合(包含関係による) S があるとする。
S の要素全体の和集合 L は M の部分加群で M と異なる。
何故なら M = L とすると L は M の有限個の生成元を含むから
S の要素で M と一致するものがあることになり矛盾。
よって Zorn の補題より N を含む M の極大部分加群が存在する。
証明終
0245１３２人目の素数さん2005/10/14(金) 08:33:28
>>244
明らかな事を証明するな馬鹿
0246１３２人目の素数さん2005/10/14(金) 08:51:11
>>244
明らかな事を証明するな馬鹿


omae usero BOKE!!!
0247１３２人目の素数さん2005/10/14(金) 09:07:51
>208

O-BOKE!!! !!!
0248１３２人目の素数さん2005/10/14(金) 09:20:45
>>245-247 寝た子を起こすな。
02492082005/10/14(金) 10:24:13
補題
A を環、I を A のイデアル、M を A-加群とする。
(A/I)(x)M は M/IM と標準的に同型である。

証明
A-加群の完全列
0 → I → A → A/I → 0
より完全列
I(x)M → A(x)M → (A/I)(x)M → 0
が得られる。これより明らか。
証明終
02502082005/10/14(金) 10:29:27
中山の補題(>>242)の別証２

M ≠ 0 とする。
>>244 より、M の極大部分加群 N が存在する。
M/N は 0 以外に真の部分加群を持たない。つまり単純加群である。
よって M/N は１個の元で生成されるから、A の適当なイデアル m に
対して A/m と同型である。N は極大だから m は極大イデアルである。
よって、完全列
M → A/m → 0
が得られる。
よって、完全列
M(x)(A/I) → (A/m)(x)(A/I) → 0
が得られる。
一方、>>249より、
M(x)A/I = M/IM
(A/m)(x)(A/I) = A/m (I ⊂ m に注意)
と見なされる。つまり、完全列
M/IM → A/m → 0
が得られる。
よって、M/IM ≠ 0
証明終
02512082005/10/14(金) 10:38:20
個人的には、>>250の証明が中山の補題の本質を突いてると思う。
どの証明もZornの補題を本質的に使っていることに注意。
A がネーター環ならZornの補題はいらないが。
02522082005/10/14(金) 11:23:43
中山の補題と準素イデアル分解の応用として「Krullの共通イデアル定理」
を証明する。

定理(Krull)
A をネーター局所環、m をその極大イデアルとすると、
∩m^n = 0 となる。ここで n はすべての正の整数 n > 0 を動く。

証明
I = ∩m^n とおく。
mI = I を示せば、中山の補題より I = 0 となる。
mI ⊂ I は明らかだから I ⊂ mI を示す。
mI = q_1 ∩ ... ∩ q_r とする。ここで、各 q_i は準素イデアル。
ある i に対して、I ⊂ q_i とならないと仮定する。
mI ⊂ q_i だから m の各元は mod q_i で零因子となる。
よって、{m} = Ass(A/q_i) である。
よって、m^n ⊂ q_i となる整数 n > 0 がある(>>168)。
一方、I = ∩m^n だから I ⊂ m^n である。
よって、I ⊂ q_i となって矛盾。
証明終
02532082005/10/14(金) 12:05:02
定義
A を環、M を A-加群とする。
M ≠ 0 で
M ≠ N かつ N ≠ 0 となる部分加群 N が存在しないとき
M を単純加群と呼ぶ。
02542082005/10/14(金) 12:06:05
定義
A を環、M を A-加群とする。
M の部分加群の列
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0
があり、各 i に対して M_i/M_(i+1) が単純とする。
このとき、列 (M_i) を M の組成列と呼ぶ。
n をこの組成列の長さという。
0255１３２人目の素数さん2005/10/14(金) 14:26:25
アホかお前
0256１３２人目の素数さん2005/10/14(金) 14:27:57
>>255
たのむからこのスレに文句つけるのやめてくれ。
02572082005/10/14(金) 18:45:16
可換環論においてネーター環が重要なことは当然だし、ネーター環は
色々、好都合な性質を持っている。だから、常にネーター性を
仮定出来れば、すっきりする。ところが、そうは問屋がおろしてくれない。
ネーター環でない重要な環がある。例えば離散付値でない付値環。
それに、不幸なことにネーター整域のその商体における整閉包は必ずしも
ネーター環ではない。
0258１３２人目の素数さん2005/10/14(金) 19:34:24
そ　れ　が　な　に　か　？
0259１３２人目の素数さん2005/10/14(金) 19:44:55
>>256
0260１３２人目の素数さん2005/10/15(土) 10:11:17
可換環論においてネーター環が重要なことは当然だし、ネーター環は
色々、好都合な性質を持っている。だから、常にネーター性を
仮定出来れば、すっきりする。ところが、そうは問屋がおろしてくれない。
ネーター環でない重要な環がある。例えば離散付値でない付値環。
それに、不幸なことにネーター整域のその商体における整閉包は必ずしも
ネーター環ではない。


tatoeba hokaniaru?
0261感想2005/10/15(土) 12:28:52
おつかれさま。これからもがんばって。
いや、なんだか大変そうだから。読んで文句をいうだけなら楽でも書くのは大変かと。

以下愚痴：素人というのはつまり、今はどんな状態からどんな状態へとつなぐ為に
こんなことをしています、っていうイメージがわかないひとのことかな、って思った。
たどれる（なぞれる）だけでは意味がなくてそれぞれの場面でどこを目指せばいいか
そんなレベルで知りたくて見てる私は素人なので、途中の道に目印だけ置かれて
途中で迷子にならないように何とかとりあえずついていくだけだと、ちょっとさびしく。

原語がわかるから言語的イメージを持てるのかもしれないけれど、
図形などの視覚的イメージや同じ〜類似の形式的性質を持つモデルがあったらな。
でもわかるひとには長くてくどくなるし、かくのにも面倒だから、無理なんだろうな…。

たとえば？えーと上の局所化って内部相互差の一部の同一視なのかな、とか、
それによって扱うべき差異に注目して、本題以外の情報を視野から外せるかなとか、
ネイター環なら閉集合縮小時＝限定条件強化＝焦点化に限界があって、
開集合拡大時＝存在条件ゆるめ時の限界と表裏で、操作時いろいろ便利だ、とか。
かなり雑で不正確な気がするけど、ここの文だけだとそんなイメージになったよ。
0262１３２人目の素数さん2005/10/15(土) 12:52:02
そんな無茶苦茶な理解しても役に立たんよ
数学は基礎からきちんと勉強しないと身につかない

それからネイター環じゃなくてNoether(ネター/ネーター）ね
物理の人とかたまにナーターとか読んでたりするけど
0263感想2005/10/15(土) 14:06:13
そうそう、そんな感じで。

何がどう間違ってるか突っ込まない教授って
あまり学習者には役に立たないものだから。
単に不正確とかいうのは、まず無意味。
ちゃんと正しい記述に直してくれてありがとう。

ちなみにこのｏｅは円唇音（≒咽頭開け音でも可、
口腔内前後径延長によって同様の音の変化
＝全フォルマントの低音化が起きるから容認発音）
のエで、やや長めなので、その通りになります。

他で基礎を全部学ぶならこの場はいらない。
半分の理解（＝誤解）の段階が想定対象だから、
軌道修正が中心になるのは当然、でもそれがない
参考書等が多く、このスレッドを頼りに学ぶわけで。

参考文献が入手困難か読みにくい外国語だけ、
または本の記述の細かさのムラのために
初学者が理解困難な場面の解説をしてくれている
そんな親切なひとのスレッドなのです。

だけど一人だと負担が重くなりすぎるので、
焦点が外れていたらスレ主は流すしかない。
こういった親切な人が助けてくれないと、
質問者は「？？？」なままになるわけ。

で、ＲＯＭは気が引けるので、声援・応援レスなのです。
0264１３２人目の素数さん2005/10/15(土) 15:46:55
ラのために
初学者が理解困難な場面の解説をしてくれている
そんな親切なひとのスレッドなのです。

だけど一人だと負担が重くなりすぎるので、
焦点が外れていたらスレ主は流すしかない。
こういった親切な人が助けてくれないと、
質問者は「？？？」なままになるわけ。

で、ＲＯＭは気が引けるので、声援・応援レスなのです。

91 KB [ ２ちゃんねるが使っている
02652082005/10/15(土) 16:30:38
>>260
>tatoeba hokaniaru?

例えば、Krull環、例えば、ネーター整域のその商体における整閉包とか
02662082005/10/15(土) 16:35:11
初学者？　そうね、我慢して証明を追っていく。
そのうち、トンネルを抜けるように見晴らしがパーっと良くなる。
この感覚は言葉でいくら説明してもわからない。
体験するしかない。
02672082005/10/15(土) 16:46:04
まあ、そう突き放すのも何だから、わからないところは質問して
くれればいい。
0268１３２人目の素数さん2005/10/15(土) 16:49:10
さて、ここでクリトリスについて考察してみよう。

まず、「リス」を漢字で書くと「栗鼠」、すなわち
　　(リス) = (栗鼠)

ここで、
　　(栗) + (栗鼠) = (栗) (1 + 鼠)

故に、
　　(クリトリス) = (栗) (1 + 鼠)

を得る。
02692082005/10/15(土) 16:55:44
何なんだろうね。釣りに反応するのもなんだけど。
数学がなんかすごくまじめくさった面白くもなんともないもんだと
誤解してんだろうね。数学ってのは場合によるとセックスより気持ち
いいもんなんだよ。これは知るひとぞ知る公然の秘密
0270１３２人目の素数さん2005/10/15(土) 17:15:22
問題が解けたときって、１００円玉拾ったときと脳波がおなじじぇあねーの？
0271シュリ2005/10/15(土) 18:26:57
　今、就職活動中で、もし数学に事を何も知らない面接官に「代数学って何？」ってき
聞かれたら、何て説明しますか！？（素朴な疑問でスミマセン・・・。）
　あとこの掲示板では、代数的整数論の話題以外の分野で質問するのは、マズイですか！？
0272１３２人目の素数さん2005/10/15(土) 18:29:15
おでん屋みたいなものですとネタを入れる
0273GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2005/10/15(土) 18:44:30
talk:>>271 集合に、いくつかの演算の構造を入れた空間を考える学問。(もはや「代数」などとは呼べないかもしれないが。)
0274１３２人目の素数さん2005/10/15(土) 18:53:07
>>273
それは「数学」の説明では？
0275１３２人目の素数さん2005/10/15(土) 19:10:33
暗号に使える高級数学とでもいっておけば。。。どんな暗号ってって会話が続くかも
営業で代数専攻でっていったら客がぽかーんとするから、そのときどう答えるかを聞いてるんだよ。
代数なんかで商売できる仕事はない
0276１３２人目の素数さん2005/10/15(土) 19:14:27
まあとにかく
・好きでやった
・一生懸命やった
・努力する才能はある

という点をアピールするのが目的だから、
説明と言う手段にこだわりすぎないほうがよい。

0277１３２人目の素数さん2005/10/16(日) 15:46:59
・好きでやった
・一生懸命やった
・努力する才能はある
・本質は馬鹿である
・他人に教える才能も無い
・つぶしが利かない
・人生やめたほうが良い
0278１３２人目の素数さん2005/10/16(日) 16:24:57
もとの話題に戻りましょ。208さん、すみません。
0279１３２人目の素数さん2005/10/16(日) 16:37:52
微分幾何学と数値解析はなにに使えるって聞かれて。。。
リアクターの中のケミカル物質の濃度解析につかえるといったら。。
うちでは使う機会がないといわれた。。。

だったら面接に呼ぶなよな。。。忙しいのに。。。
馬鹿の面接官を出す会社は最初から蹴ったほうがいい
0280１３２人目の素数さん2005/10/16(日) 16:41:26
大手は形式だけ試験受けてくれで。。。即決だった。
判断が速い。格の違いを感じた。
02812082005/10/17(月) 09:48:11
最近(実はほんの２、３日前)、Kummerの理想数に関して以外な発見を
した。俺だけが気がついたとは思はないが。
足立の「フェルマーの大定理」という本を１ヶ月ほど前にアマゾンで
買った。この本にはKummerの理想数について書いてあると聞いたから。
ところが読んでみるとあまり詳しく書いてない。
ただ、定義は書いてあった。

K を代数体(実は円分体だが一般の代数体でも同様)、A をその主整環、
p を素数とする。p の素因子とは、p と A の元ωの組 (p, ω)
で以下の条件を満たすものである。
1) ω ≠ 0 (mod pA) である。つまり ω ⊂ pA とならない。
2) α、βを A の元で、αβω = 0 (mod pA) なら、
αω = 0 (mod pA) または βω = 0 (mod pA) となる。

このとき、(p, ω) は p の素因子 P を定めるという。

αω = βω (mod pA) のとき α と β は 素因子 P を法として
合同といい、α = β (mod P) と書く。


初めこれを読んだとき、なんじゃこれは？ 奇妙な定義だなと思った。
ところが、２、３日前に読み返してみて気がついた。
皆、もうわかるよね？ そう 素因子 P とは A/pA の随伴素イデアル、
つまり P ∈ Ass(A/pA) のことだ(>>89)。
これは驚きだよね。随伴素イデアルの概念はやっと１９５０年代の
終わりにBourbakiが定式化したものだ。それを、Kummerが100以上前に
代数体でやっていたとは。
02822082005/10/17(月) 10:24:37
Kummerの定義によると α ∈ A が (p, ω) で定義される素因子 P の
n乗で割れるとは αω^n = 0 (mod (p^n)A) となることをいう。
A がDedekind環であることを使うと、これはイデアルとして
αA ⊂ P^n と同値であることが分かる。
0283１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 10:54:37
偉大なり、kummer

拡大スレをあげるんだ！
02842082005/10/17(月) 12:06:11
補題
A を環、M を A-加群とする。
M が長さ n の組成列(>>254)を持てば、M の任意の部分加群 N は、
長さ ≦ n の組成列を持つ。

証明
n に関する帰納法。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
(N + M_1)/ M_1 は N/(M_1 ∩ N) と同型である。
N + M_1 = M_1 つまり N ⊂ M_1 の場合は帰納法の仮定より、
N は長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。
N + M_1 ≠ M_1 の場合は、N + M_1 = M であり、N/(M_1 ∩ N) は
単純加群(>>253)である。一方、M_1 ∩ N は帰納法の仮定より、
長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。よって、N は長さ ≦ n の組成列を持つ。
証明終

(注) 図を書くと証明が良く分かる。
02852082005/10/17(月) 12:22:24
補題
A を環、M を A-加群とする。
M が長さ n の組成列(>>254)を持てば、M の任意の部分加群 N に
対して、M/N は長さ ≦ n の組成列を持つ。

証明
n に関する帰納法。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
(N + M_(n-1))/N は M_(n-1)/(N ∩ M_(n-1)) と同型である。
N + M_(n-1) ⊃ M_(n-1) であり、M/M_(n-1) は長さ = n-1 の
組成列を持つ。よって、N + M_(n-1) に帰納法の仮定が使える。
残りの証明は読者に任す。
02862082005/10/17(月) 12:30:31
定理(Jordan-Holder)
A を環、M を A-加群とする。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
M の任意の組成列の長さは n であり、その剰余群の列は、
順序を別にして 列 (M_i/M_(i+1)) と同型である。

証明
n に関する帰納法。
M = N_0 ⊃ N_1 ⊃ N_2 ... ⊃ N_m = 0 を別の組成列とする。
M_1 ∩ N_1 は補題(>>284)より長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。
これと、帰納法の仮定を使えばわかる。
詳しくは読者に任す。
02872082005/10/17(月) 12:32:51
>>286から自然数の素因数分解の一意性がすぐに出る(演習)。
だから、>>286は非常に基本的な定理ということが出来る。
02882082005/10/17(月) 12:37:52
定義
A を環、M を長さ n の組成列を持つ A-加群とする。
>>286より n は組成列の取り方によらない。
n を leng(M) と書き、M の長さと呼ぶ。
一般に組成列をもつ加群を長さ有限の加群と呼ぶ。
02892082005/10/17(月) 12:41:14
命題
A を環、M を長さ有限の加群、N をその部分加群とする。
このとき、N も M/N も長さ有限であり、
leng(M) = leng(N) + leng(M/N) となる。

証明
>>284と>>285から明らか。
02902082005/10/17(月) 12:45:08
命題
A を環、M をA-加群とする。
M が長さ有限であるためには、部分加群に関して極大条件と
極小条件を同時に満たすことが必要十分である。

証明
>>286や>>289を使えば簡単なので読者にまかす。
02912082005/10/17(月) 12:49:44
>>281

自画自賛だけど、このスレで随伴素イデアルを扱ったのは正解だね。
なにしろ、Kummerがやってるんだから。
普通は代数的整数論の導入部で随伴素イデアルに関してここまでやらない。
02922082005/10/17(月) 16:00:19
定義
A を環とする。それをA-加群とみたとき極小条件を満たすなら、それを
Artin環という。
0293１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 16:03:51
>>286から自然数の素因数分解の一意性がすぐに出る(演習)。
うそつけ
02942082005/10/17(月) 16:06:13
命題
Artin環が整域なら、それは体である。

証明
a ∈ A を 0 でない元とする。
イデアルの列 aA ⊃ (a^2)A ... ⊃ (a^n)A ⊃ ...
は途中で停留するから、(a^n)A = (a^(n+1))A となる整数 n > 0 が
ある。よって、a^n = a^(n+1)x となる x ∈ A がある。
A は整域だから、1 = ax となる。
証明終
02952082005/10/17(月) 16:15:32
>>293

素直に、わからないから教えてくださいと言えばいいものを。
02962082005/10/17(月) 16:19:35
>>294の系

Artin環の素イデアルは極大である。
0297１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 16:20:38
>>295

おしえてなんかいらねーよ




0298１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 16:21:46
208は教えてクンでもあったのか・・・
02992082005/10/17(月) 16:28:42
命題
Artin環の素イデアルは有限個である。

証明
p_1, p_2, ... , p_n を相異なる素イデアルとする。

p_1 ≠ (p_1)(p_2) である。
何故なら、p_1 = (p_1)(p_2) なら、p_1 ⊂ p_2 となるが、
p_1 は極大イデアルだから(>>296)、p_1 = p_2 となって矛盾。
同様に、(p_1)(p_2) ≠ (p_1)(p_2)(p_3) である。
何故なら、(p_1)(p_2) = (p_1)(p_2)(p_3) なら、p_1 ⊂ p_3
または p_2 ⊂ p_3 となるから。
よって、降鎖列 p_1 ⊃ (p_1)(p_2) ⊃ (p_1)(p_2)(p_3) ...
が得られ、隣合うイデアルは異なる。
極小条件から、この列は無限に続かない。
証明終
03002082005/10/17(月) 16:30:46
>>298

お前はアフォか。
0301１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 16:33:13
おまえの返答、教えてクンの定型そのものだよ。
03022082005/10/17(月) 16:38:47
>>301

だから、素直に謝れ。そしたら答えを教えてやる。
0303１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 16:40:27
>>302
見当違いだって
うそつけっていったのは俺だよ
0304１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 16:43:13
いや結構。俺は>>293じゃないから。敵は一人症候群、早く治せよ。
03052082005/10/17(月) 16:46:41
>>303

要は、答えが分からないんだろ。
分からないのに、人を嘘つき呼ばわりするんじゃない。
この問題は、そんなに大騒ぎするほどのもんじゃない。
だからこれで終わり。答えは自分で考えろよ。
ヒントは Z/nZ の組成列を考える。
このヒントでほとんど終わりだけどな。
0306１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 16:48:18
>>305
おまえは馬鹿だね
それでおわりだとおもってるからうそつきなの
03072082005/10/17(月) 17:40:52
>>306

何を悔し紛れに。これで勉強になったろ。
その程度で俺に喧嘩を売るのはまだ早いんだよ。
0308１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 17:42:56
>>307
あ　まだわからないんだ
いつまでもそうやって自己満足してろ
0309１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 18:05:32
やっと208らしくなってきたｗ
03102082005/10/17(月) 18:14:21
>>308

こんな簡単な問題につべこべ言ってるならここに来る資格なし。
来るなよ。邪魔だから。
0311１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 18:15:53
>>310
わからないからって
くやしまぎれ言うんじゃないよ
ま
おまいさんには無理だと思ってたよ
0312１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 18:17:21
>>310
教えて欲しかったらちゃんと謝れよ
教えてくん
03132082005/10/17(月) 18:36:50
笑っちゃうね。そんなに説明してもらいたいのか。いじらしいね。
それならもうちょっと言い方があるだろうに。
0314１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 19:09:32
抽象論の中で自己完結しているやつらの糞スレだな。
まあ、趣味でやる分にはいいだろうが、実社会では
もっとも使えない連中だｗ
0315１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 19:17:38
>>314
自己完結しない抽象論なんてないよ。
君は実社会で糞でも食べてなさい。
03162082005/10/17(月) 19:22:03
趣味でやってんだけど。将棋とか野球とかと同じ
上(>>269)にも書いたけど何か勘違いしてんだろうね。
0317１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 19:38:34
実社会の甘い果実がわからんとな！
コチコチの自己完結頭の将来には、フリーターかニート
しかないってことかｗ
0318１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 19:41:21
数学に関係のない価値を持ち出すなって。
03192082005/10/17(月) 19:47:56
だから勘違い。一種の嫉妬だろ。みっともねえ。
0320１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 19:51:55
フリーターかニート はもうすぐ捕獲されて収容所に送られます
0321１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 20:01:44
208の方こそ数学に（しかも自分が得意なもの限定）すがりついて
るんじゃないか。だから、ささいなことに過剰に反応する。
余裕があるときとないときの落差大きすぎｗ
0322１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 20:02:51
ニコリのパズルなら良くて数学ならダメというのがわからん。絡むなよ。
0323１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 21:53:52
>>322
要するに２０８の態度が不快ということだろう？　空気嫁。
0324１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 21:55:52
>>323
ニコリのパズルについて嬉々として話している人がいたとして、
それを不快がるヤシの気持ちがわからん、という話をしている。
0325１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 22:10:56
>>324
「嬉々として話している」だけなら誰も文句は言わん。
繰り返す、空気嫁。
0326１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 22:15:07
>>325
おまいの脳の中だけの空気は読めん。スレを１個消費するだけ。無視すれ。
0327１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 22:18:01
>>326
自分の脳の中しかわからんか。典型的な自己完結厨だな。
0328１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 22:18:22
>>325
おまえの村の空気だけで地球は覆えない。
0329１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 22:22:40
>>327
暗に、「数学の価値はニコリのパズル程度と思え」という価値の改革を迫っている。改革しろ。
0330１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 22:32:21
>>328
君の脳内世界についていけん。

>>329
被害妄想。
0331１３２人目の素数さん2005/10/17(月) 22:33:03
d一つであぼーんできる2chブラウザを使ってる俺は勝ち組
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