>>142の記号を使う。

x ∈ M, y ∈ N とし、x (x) y = 0 とする。
>>118より x = f_i(x_i), y = g_j(y_j) となる
x_i ∈ M_i, y_j ∈ N_j がある。

(f_i (x) g_j) (x_i (x) y_j) = f_i(x_i) (x) g_j(y_j) = x (x) y = 0
となる。
>>120 より、 x_k (x) y_l = 0 となる、x_k ∈ M_k, y_l ∈N_l
がある。ここで i ≦ k, j ≦ l であり、x_k = f_(k, i)(x_i),
y_l = g_(l, j)(y_j)